Hallo,
ich gehe davon aus, dass Ihr wisst, dass bei einer konvexen Funktion die erste Ableitung monoton wachsen ist.
Sei f(z)=0, also z die gesuchte Nullstelle und x>z. Dann führt ein Newton-Schritt zur Nullstelle y der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x,f(x)). Also:
$$g(t):=f(x)+f'(x)(t-x)=0 \rightarrow y=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$$
Aufgrund der Voraussetzungen sind f(x) und f'(x) positiv (bis auf den trivialen Sonderfall, dass f eine Gerade ist); daher ist y<x. Wir zeigen nun: g(z)<0. Wegen des Mittelwertsatzes ist mit einem \(s \in (z,x)\)
$$0=f(z)=f(x)+f'(s)(z-x)$$
Daher
$$g(z)=f(x)+f'(x)(z-x)=(f'(x)-f'(s))(z-x)<0$$
Denn der erste Faktor ist wegen der Monotonie von f' positiv, der zweite negativ. Als muss die Nullstelle von g, also y, zwischen z und x liegen.
Damit wissen wir: Wenn wir von einem Punkt x aus, der rechts von z liegt einen Newton-Schritt ausführen bringt uns das zu einem Punkt y zwischen z und x. Wenn wir das induktiv fortsetzen, erhalten wir eine monoton fallende Folge, die nach unten durch z beschränkt ist, also konvergent.
Durch das Standard-Stetigkeitsargument folgt, dass der Grenzwert Nullstelle von f ist, also gleich z.
Bleibt noch der Fall, dass der Startwert links von z liegt: Wenn Du Dir eine Skizze machst und die geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens beachtest, siehst Du, dass ein Newton-Schritt Dich auf die rechte Seite von z bringt und dann greifen die vorhergehenden Ideen.
Gruß Mathhilf
