Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
Leider hast Du die Aufgabe nur unvollständig beschrieben. Ich rate daher mal, wie die Aufgabe lautet.
Geraten: Es sollen die Punkte der Funktion \(f(x)\) bestimmt werden, bei denen die Steigung der Funktion \(f'(x)=3\) ist. Und \(f(x)\) ist$$f(x) = \frac13x^3-3x^2+8x+1$$Habe ich richtig geraten? Dazu folgender Plot
~plot~ (1/3)x^3-3x^2+8x+1;x^2-6x+8;[[-3|9|-4|12]];3 ~plot~
Dort siehst Du den Graphen (blau) von \(f(x)\) und den Graphen (rot) der Ableitung. Die Ableitung \(f'(x)\) lautet$$f'(x) = x^2-6x+8$$weiter habe ich die Gerade \(y=3\) (grün) hinzugefügt. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ableitung (rot) liegen augenscheinlich bei \(x_1=5\) und \(x_2=1\)
Um das zu berechnen muss man die Ableitung \(f'(x)\) mit der \(3\) - also dem gewünschten Wert der Steigung - gleichsetzen:$$\begin{aligned}x^2-6x+8 &= 3 &&|\,-3\\x^2-6x+5&=0&&|\,\text{pq-Formel}\\x_{1,2}&=3\pm\sqrt{3^2-5}\\&= 3 \pm 2\end{aligned}\\\implies x_1=5, \quad x_2=1$$die Rechnung bestätigt das Ergebnis aus der Skizze.
Gruß Werner
