Bestimme die Gleichung einer Geraden g, welche durch die Mitte M der Strecke AB mit den Punkten A() und B (53) …

Question

Aufgabe:

Bestimme die Gleichung einer Geraden g, welche durch die Mitte M der Strecke AB mit den Punkten A(2Ι2) und B (4Ι3) geht und senkrecht zur Strecke AB steht

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand beim Rechenweg helfen?

Answer 1

Aloha :)

Die Mitte der Strecke erhalten wir, indem wir von Punkt \(A\) loslaufen und den halben Vektor in Richtung \(B\) gehen:

$$\vec m=\vec a+\frac12\overrightarrow{AB}=\vec a+\frac12\left(\vec b-\vec a\right)=\binom{2}{2}+\frac12\left(\binom{4}{3}-\binom{2}{2}\right)=\binom{2}{2}+\binom{1}{0,5}=\binom{3}{2,5}$$

Durch diesen Punkt muss die Gerade verlaufen. Der Richtungsvektor der Geraden steht senkrecht auf dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\). Den haben wir oben schon berechnet: \(\binom{1}{0,5}\). Es gibt unendlich viele Vektoren, die darauf senkrecht stehen, z.B. der Vektor \(\binom{0,5}{-1}\) oder auch \(\binom{1}{-2}\). Die Gleichung der gesuchten Geraden ist daher nicht eindeutig, es gibt nicht DIE Gleichung der Geraden. Eine mögliche Form haben wir aber gefunden:$$g\colon\binom{3}{2,5}+\lambda\binom{1}{-2}$$

Comments

Ok, danke !

Noch eine Frage: könntest du mir den Rechenweg des Richtungsvektoren bitte noch zeigen, das ist wahrscheinlich der Normalenvektor, ich verstehe aber nicht, wie ich ihn berechne

---

Den Vektor von \(A\) nach \(B\) bekommst du, wenn du von Punkt \(A\) zum Ursprung läufst, also den Vektor \((-\vec a)\) entlang, und vom Ursprung aus dann zum Punkt \(B\) läufst, als den Vektor \((+\vec b)\) entlang. Daher ist$$\overrightarrow{AB}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a$$Daraus haben wir oben den Vektor \(\binom{1}{0,5}\) berechnet.

Der Richtungsvektor \(\binom{x}{y}\) der Geraden muss auf diesem Vektor senkrecht stehen, das heißt:$$0\stackrel!=\binom{1}{0,5}\cdot\binom{x}{y}=1\cdot x+0,5\cdot y=x+0,5y$$

Es gibt also nur eine Gleichung für 2 Unbekannte \(x\) und \(y\). Daher können wir eine Unbekannte frei wählen, z.B. \(x=1\), und die andere aus der Bedingung zu berechen:$$0\stackrel!=x+0,5y=1+0,5y\implies y=-2$$Damit haben wir dann einen möglichen Richtungsvektor \(\binom{1}{-2}\) gefunden.

Answer 2

Hier mal ein Weg aus der 8./9. Klasse mittels linearer Funktionen.

Mittelpunkt zwischen A und B

M = ((2 + 4)/2 | (2 + 3)/2) = (3 | 2.5)

Steigung zwischen A und B

m = (3 - 2)/(4 - 2) = 1/2

Senkrecht dazu ist die Steigung

n = -1/(1/2) = - 2

Gerade durch M mit der Steigung n in Punkt Steigungs Form

y = - 2 * (x - 3) + 2.5

Ausmultipliziert

y = 8.5 - 2·x