Geraden im Raum (Ortsvektor)

Question

Aufgabe:

Untersuche, ob P auf der Geraden liegt, die durch A und B geht.

A (3|2|0)

B (-1|4|0)

P (1|3|0)

Answer 1

Allgemein geht es so: Die Gleichung der Geraden durch A (Ortsvektor \( \vec{a} \) ) und B (Ortvektor \( \vec{b} \) ) ist z.B.

\( \vec{x} \)=\( \vec{a} \)+k·(\( \vec{a} \)-\( \vec{b} \)).

Falls es eine Zahl k gibt, für die die Gleichung \( \vec{p} \)=\( \vec{a} \)+k·(\( \vec{a} \)-\( \vec{b} \)) gilt, liegt P (Ortsvektor \( \vec{p} \)) auf AB.

Comments

Wie ist das dann auf die Aufgabe anzuwenden, verstehe das immer noch nicht ganz.

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\( \vec{a} \)=\( \begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{b} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\4\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{p} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{a} \) - \( \vec{b} \)=\( \begin{pmatrix} 4\\-2\\0 \end{pmatrix} \)

      \( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} 4\\-2\\0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} 4\\-2\\0 \end{pmatrix} \) ergibt die Komponentengleichungen:

1=3+4k

3=2-2k

0=0+0k

In allen Fällen ist k=-\( \frac{1}{2} \).

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Aber bei 0=0+0k kommt 0 raus, wie kann das 1/2 sein?

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Aber bei 0=0+0k kommt 0 raus, wie kann das 1/2 sein?

nein es kommt nicht "0 raus". Hier erfüllt jeder beliebige Wert von \(k\) diese Gleichung. Also auch \(k=1/2\)$$0 = 0 + 0 \cdot \frac 12 \, \checkmark$$es kommt nicht darauf an, ob man aus jeder der drei Geichungen das \(k\) berechnen kann, Es geht nur darum, dass es genau einen Wert für \(k\) gibt, den man in jede der drei Gleichungen ohne Widerspruch einsetzen kann.

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Achso slles klar. Vielen Dank!

Answer 2

Aloha :)

Der Punkt \(P\) liegt genau in der Mitte der Verbindungslinie von \(A\) nach \(B\), denn:

$$\frac12\left[\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\\0\end{pmatrix}\right]=\frac12\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}$$

Der Punkt \(P\) liegt also auf der Geraden durch \(A\) und \(B\).

Comments

Wie kommt man auf die 1/2? Und muss dann immer 1/2 genommen werden, weil zu der Aufgabe gibt es noch b, c und d?

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Siehe meine Antwort unten.

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Die \(\frac12\) habe ich "gesehen". Wenn man die Vektoren für \(A\) und \(B\) addiert, kommt genau das Doppelte des Vektors für \(P\) heraus. Damit liegt der Punkt \(P\) genau in der Mitte der Verbindungslinie von \(A\) nach \(B\).

Siehe auch die Antwort von Roland, er erklärt das allgemeiner ;)