Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius 10.

Question

Aufgabe:

Eine Kugel mit Radius r hat das Volumen V(r) = \( \frac{4}{3} \)*π*r³

a) Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius 10. WIe verändert sich ihr Volumen, wenn man den Radius um 0,1 vergrößert?

b) Berechnen SIe die mittleren Änderungsraten \( \frac{V(10,1) - V(10)}{0,1} \) und \( \frac{V(20,1) - V(20)}{0,1} \). Interpretieren Sie diese geometrisch und fertigen Sie eine Skizze an.

c) Bestimmen SIe die mittlere Änderungsrate \( \frac{V(r₀ + h) - V(r₀)}{h} \) und vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. Bestimmen SIe die momenatene Änderungsrate V(r₀) und interpretieren SIe diese geometrisch.

Problem/Ansatz:.

a) V(10) = \( \frac{4}{3} \)*π*10³ ≈ 4188,79

V(10,1) = \( \frac{4}{3} \)*π*(10,1)³ ≈ 4315,71

b) Mittlere Änderungsrate: \( \frac{V(10,1) - V(10)}{0,1} \) = \( \frac{4315,71 - 4188,79}{0,1} \) = 1269,2

Mittlere Änderungsrate: \( \frac{V(20,1) - V(20)}{0,1} \) = \( \frac{34015,49 - 33510,32}{0,1} \) = 5051,72

\( \frac{V(10,1) - V(10)}{0,1} \) bedeutet das die Vergrößerung um 0,1 im Intervall [10, 10,1] das Volumen um 1269,2 ansteigt.

\( \frac{V(20,1) - V(20)}{0,1} \) bedeutet das die Vergrößerung um 0,1 im Intervall [10, 10,1] das Volumen um 5051,72 ansteigt.

c) Bestimmen SIe die mittlere Änderungsrate \( \frac{V(r0 + h) - V(r0)}{h} \) und vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. Bestimmen SIe die momenatene Änderungsrate V(r0) und interpretieren SIe diese geometrisch.

\( \frac{V(r0 + h) - V(r0)}{h} \)

h = r₁ - r₀

r₁ = r₀ + h

\( \lim \limits_{r_{1} \to r_{0}} \) \( \frac{V(r1) - V(r0)}{x1 - x0} \)

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \) \( \frac{V( \frac{4}{3} *π*r^{3}+ h) - V( \frac{4}{3} *π*r^{3})}{h} \)

Answer 1

WIe verändert sich ihr Volumen, wenn man den Radius um 0,1 vergrößert?

Du beantwortest die Frage wie Groß das Volumen bei einem Radius von 10,1 ist. Das war eigentlich nicht die Frage.

Interpretieren Sie diese geometrisch und fertigen Sie eine Skizze an.

Deine Rechnung bei b ist vollkommen richtig. Deine Interpretation ist leider nicht richtig. Aber das liegt sicher auch daran das du keine Skizze gemacht hast.

c) Bestimmen SIe die mittlere Änderungsrate

Du solltest hier tatsächlich mal die mittlere Änderungsrate berechnen und vereinfachen

m = (V(r + h) - V(r))/h = 4/3·pi·(h^2 + 3·h·r + 3·r^2)

die Momentane Änderungsrate ergibt sich aus der mittleren Änderungsrate wenn h gegen 0 geht.

V'(r) = lim (h-->0) 4/3·pi·(h^2 + 3·h·r + 3·r^2) = 4·pi·r^2

Und hier solltest du jetzt natürlich geometrisch sehen, das dieses genau der Formel der Oberfläche entspricht.