der Radius einer Kugel wird um 10 % verlängert

Question

Hallo könnt ihr mir bitte bei folgende Aufgabe helfen :

1.Der Radius einer Kugel ( r = 5 cm ) wird um 10 % verlängert. um wie viel Prozent nehmen das Volumen v und der Oberflächeninhalt o zu?

2.Der Radius einer Kugel ( r = 5 cm ) wird um 10 % verkürzt. um wie viel Prozent nehmen das Volumen v und der Oberflächeninhalt o ab?

danke im voraus

Answer 1

Hallo jd,

1.

Deine erste Kugel hat den Radius r₁ = 5 cm, die zweite 10% , also 0,5 cm mehr, das sind  r₂ = 5,5 cm.

V₁ = 4/3 * π * r₁³  = 4/3 * π * (5cm)³   ≈  523,6 cm³

V₂ = 4/3 * π * r₂³ = 4/3 * π * (5,5 cm)³   ≈  696,9 cm³

V₂ / V₁  ≈  1,331

 V₂ = 1,331 * V₁  ,  das  sind  33,1 % mehr    [ 331/1000  = 33,1 /100 = 33,1 % ]

Oberfläche mit Formel O = 4 * π * r²  geht genauso.

Aufgabe 2  rechnet man ähnlich, nur das man beim Radius 0,5 cm abziehen muss. Außerdem muss man am Schluss ausrechnen, wieviel % an 100% fehlen.

Kontrollergebnisse:

1)  O₂  ist  21% größer als O₁

2)  V₂  ist  27,1 % kleiner als V₁

      O₂  Ist  19 %  kleiner als O₂

Answer 2

Zu 1) Volumen der ursprünglichen Kugel mit dem Radius r: V₁=4π/3·r³.

Volumen der  Kugel mit dem Radius 1,1r: V₂=4π/3·(1,1r)³.

Der gesuchte Bruchteil sei b, dann gilt b=(V₂-V₁)/V₁ = (1,1³-1)/1=0,331 oder 33,1 %.

Comments

Hallo Roland,

Ich denke, der FS ist mit dieser allgemeinen Rechnung überfordert. Warum sonst hätte man ihm den Radius 5 cm angeben sollen?

Und als Gast kann er keine Nachfragen stellen, ohne sich anzumelden!

Gruß Wolfgang

Answer 3

es gelten:

\( O = 4\pi \cdot r^2 \) und \( V = {4\over3}\pi \cdot r^3 \).

Damit \( O \sim r^2 \) und \( V \sim r^3 \)

Damit:

10 % länger \( \longrightarrow \) \( r_2 = 1.1r;~ O_2 = 1.1^2 O;~ V_2 = 1.1^3 V \).

10 % kürzer \( \longrightarrow \) \( r_3 = 0.9r;~ O_3 = 0.9^2 O;~ V_3 = 0.9^3 V \).

Grüße,

M.B.

Comments

Hallo MB,

Ich denke, der FS ist mit dieser allgemeinen Rechnung überfordert. Warum sonst hätte man ihm den Radius 5 cm angeben sollen?

Und als Gast kann er keine Nachfragen stellen, ohne sich anzumelden!

Gruß Wolfgang