Hallo,
es geht mit einer Variation des Satzes von Picard-Lindelöf, also mit dem Banachschen Fixpunktsatz.
Definiere:
$$D:=\{f \in C[-1,1] \mid \forall x \in [-1,1]: f(x) \in [1,3]\}$$
Also ist D gerade die abgeschlossene Kugel um die konstante Funktion \(f(x)=2\) mit Radius 1 im Raum \(C[-1,1]\) mit der sup-Norm. Dazu definieren wir den Operator:
$$T:D \to D, \quad T(f)(x):=2+\int_0^x \sin\left(\frac{t}{3}[(f(\frac{t}{3})+f(\frac{2t}{3})]\right) dt$$
Weil die Funktionswerte des sin in [-1,1] liegen, sieht man, dass T in der Tat nach D abbildet.
Zur Kontraktion: Es gilt wegen des Mittelwersatzes \(|\sin(s)-\sin(t)| \leq |s-t|\). Daher gilt für Funktionen f,g:
$$|\sin\left(\frac{t}{3}[(f(\frac{t}{3})+f(\frac{2t}{3})]\right)-\sin\left(\frac{t}{3}[(g(\frac{t}{3})+g(\frac{2t}{3})]\right)|$$
$$\leq \frac{|t|}{3}[|f(\frac{t}{3})-g(\frac{t}{3})|+|f(\frac{2t}{3})-g(\frac{2t}{3})|] \leq \frac{|t|}{3} \cdot 2 \|f-g\|_{\infty}$$
Nutzt man dies für die Operator-Werte, so erhält man:
$$\|T(f)-T(g)\|_{\infty} \leq \frac{1}{3} \|f-g\|_{\infty}$$
Also liegt eine Kontraktion vor.
Gruß Mathhilf