-1 ist kein Quadrat mod p wenn p = 3 mod 4

Question

Aufgabe: Wenn p ≡ 3 mod 4 und p eine Primzahl ist, dann ex. kein x ∈ ℤ : x² ≡ -1 mod p.

Problem/Ansatz: Ich hab leider keinen Ansatz, freue mich aber über jeden Hinweis/Beweis!

. :)

Comments

Das ist Teil des ersten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz. Und folgt direkt aus einem Satz von Euler:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity#Proofs_of_the_supplements

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_criterion

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Perfekt, danke für die Links! :D

Answer 1

Die multiplikative Gruppe \(K^*\) des Restklassenkörpers \(K=\mathbb{F_p}\)

hat die Ordnung \(p-1\) und ist zyklisch. Nun ist \(x^2=-1\) genau dann,

wenn die von \(x\) erzeugte Untergruppe die Ordnung \(4\) hat,

folglich genau dann, wenn \(4\) ein Teiler der Gruppenordnung ist,

d.h. wenn \(p-1\equiv 0\) mod \(4\), also \(p\equiv 1\) mod \(4\) ist,

da ja eine endliche zyklische Gruppe zu jedem Teiler \(d\) der Gruppenordnung

genau eine (zyklische) Untergruppe der Ordnung \(d\) besitzt.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort. Der zweite Satz klingt fast so, als bräuchte man da etwas Algebra Vorwissen, welches ich leider noch nicht habe.

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Den zweiten Teil über die Untergruppen einer zyklischen Gruppe
kannst du ruhig ignorieren. Der diente nur dazu zu zeigen,
dass auch \(p\equiv 1\) mod \(4\;\Rightarrow \exists x:\; x^2=-1\) gilt.
Das musst du aber gar nicht zeigen.