Aloha :)
Ich würde die Funktion zuerst faktorisieren:
$$f(x)=-2x^3+2x^2+4x=-2x(x^2-x-2)=-2x(x-2)(x+1)$$
1) Dann erkennst du sofort die Nullstellen bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=2\).
2) Zwischen den Nullstellen \(-1\) und \(0\) ist \((-2x)\ge0\), \((x-2)\le0\) und \((x+1)\ge0\). Alle drei miteinander multipliziert, ergibt also einen Wert \(\le0\). Die Funktion ist also zwischen diesen Nullstellen \(\le0\), sodass im Intervall \([-1|0]\) ein Minimum liegen muss.
3) Zwischen den Nullstellen \(0\) und \(2\) ist \((-2x)\le0\), \((x-2)\le0\) und \((x+1)\ge0\). Alle drei miteinander multipliziert, ergibt also einen Wert \(\ge0\). Die Funktion ist also zwischen diesen Nullstellen \(\ge0\), sodass im Intervall \([0|2]\) ein Maximum liegen muss.
4) Für \(x\to\infty\) gehen die drei Faktoren \((2x), (x-2), (x+1)\) auch \(\to\infty\). Wegen dem Minus-Zeichen vor dem Produkt geht also \(f(x)\to-\infty\).
5) Für \(x\to-\infty\) gehen die drei Faktoren \((2x), (x-2), (x+1)\) auch \(\to-\infty\). Wegen dem Minus-Zeichen vor dem Produkt geht also \(f(x)\to+\infty\).