Beschreibung einer Funktion

Question

Aufgabe: Beschreiben sie, ohne die Funktion zu zeichnen, den globalen Verlauf der Funktion sowie das Verhalten im unendlichen : -2x^3+2x^2+4x

…

Problem/Ansatz: LIN gegen - unendlich/ + unendlich

Comments

den globalen Verlauf der Funktion sowie das Verhalten im unendlichen

Was mir hier etwas merkwürdig erscheint ist das der globale Verlauf und auch das Verhalten im Unendlichen gefragt ist. Das klingt so als wären das zwei unterschiedliche Sachen. Mit dem Globalverlauf meint man hier allerdings das Verhalten im Unendlichen. Es handelt sich also um das Gleiche. Habt ihr Globalverlauf anders definiert?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Funktion zuerst faktorisieren:

$$f(x)=-2x^3+2x^2+4x=-2x(x^2-x-2)=-2x(x-2)(x+1)$$

1) Dann erkennst du sofort die Nullstellen bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=2\).

2) Zwischen den Nullstellen \(-1\) und \(0\) ist \((-2x)\ge0\), \((x-2)\le0\) und \((x+1)\ge0\). Alle drei miteinander multipliziert, ergibt also einen Wert \(\le0\). Die Funktion ist also zwischen diesen Nullstellen \(\le0\), sodass im Intervall \([-1|0]\) ein Minimum liegen muss.

3) Zwischen den Nullstellen \(0\) und \(2\) ist \((-2x)\le0\), \((x-2)\le0\) und \((x+1)\ge0\). Alle drei miteinander multipliziert, ergibt also einen Wert \(\ge0\). Die Funktion ist also zwischen diesen Nullstellen \(\ge0\), sodass im Intervall \([0|2]\) ein Maximum liegen muss.

4) Für \(x\to\infty\) gehen die drei Faktoren \((2x), (x-2), (x+1)\) auch \(\to\infty\). Wegen dem Minus-Zeichen vor dem Produkt geht also \(f(x)\to-\infty\).

5) Für \(x\to-\infty\) gehen die drei Faktoren \((2x), (x-2), (x+1)\) auch \(\to-\infty\). Wegen dem Minus-Zeichen vor dem Produkt geht also \(f(x)\to+\infty\).

Answer 2

Wenn x → -∞ dann wird 2x³ klein und -2x³ groß.

Wenn x → ∞ dann wird 2x³ groß und -2x³ klein.

Answer 3

f(x)=-2x^3+2x^2+4x

Für x-Werte mit großen Beträgen ist -2x^3 entscheidend.

Daher gilt

x → +∞ ⇒ f(x) → -∞

x → -∞ ⇒ f(x) → +∞

In der Nähe der y-Achse ist 4x entscheidend.

D.h. die Kurve verläuft durch den Ursprung mit der Steigung +4.

Wenn du das in ein Achsenkreuz einzeichnest und beachtest, dass f(x) stetig ist, siehst du, dass es ein Minimum im III. Quadranten und ein Maximum im I. Quadranten geben muss.

:-)