Finden Sie Basen für ⟨v_1, v_2, v_3⟩ in ℝ^4 und in (ℤ_3)^4 und ergänzen Sie diese zu Basen für ℝ^4 und (ℤ_3)^4.

Question

Hallo zusammen :)

Die Aufgabe lautet:

Sind die Vektoren v₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\2 \end{pmatrix} \), v₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\1 \end{pmatrix} \), v₃ = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\2\end{pmatrix} \) linear unabhängig?

a) über ℝ?

b) über ℤ₃? Finden Sie Basen für ⟨v₁, v₂, v₃⟩ in ℝ⁴ und in (ℤ₃)⁴ und ergänzen Sie diese zu Basen für ℝ⁴ und (ℤ₃)⁴.

Bei der a) habe ich das Gauss-Verfahren angewendet und es kam eine Nullzeile raus. Daraus habe ich geschlossen dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Bei der b) würde ich auch einfach das Gauss-Verfahren anwenden jedoch modulo 3 rechnen, liege ich da richtig?

Bei der letzten Frage habe ich leider überhaupt keinen Ansatz. Wie finde ich die richtigen Basen?

Danke schonmal für eure Hilfe !:)

Answer 1

Hallo ich sehe keine Nullzeile, also rechne lieber vor, ja Gauss mod 3 ist richtig

für die Basis erfindest du zu der Anzahl linear unabhängiger nich soviel unabhängige dazu, dass du vier hast, oft lohnt es sich zu sehen ob man einfach 2 StandarsBasis Vektoren dazu nehmen kann oder welche die senkrecht zu den gegebenen sind.

Gruß lul

Comments

Ok, danke.

Zu der a):

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\  2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

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Hallo

du hast die Vektoren als Spalten geschrieben, es bleiben 3 Spalten die nicht 0 sind also sind die 3 linear unabhängig,. du musst nur noch einen dazufinden für eine Basis.

Gruß lul

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Ist die b) auch richtig?

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Die Vektoren sind über ℤ₃ also linear abhängig.

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Sieht sehr gut aus. Also richtig  Gruß lul