Den Schnittpunkt zweier gebrochen-rationaler Funktionen

Question

Aufgabe:

Den Schnittpunkt zweier gebrochen-rationaler Funktionen finden

Problem/Ansatz:

Hallo, in unserem Schulbuch steht, dass man den Schnittpunkt X zweier gebrochene-rationaler Funktionen herausfinden kann, in dem man die beiden Funktionsterme gleichsetzt. Ich habe es nun mal gemacht und es ist keine Lösung herausgekommen. Könnte jemand mir sagen wo mein Fehler liegt. Hier meine Rechnung:

\( \frac{3(x+5)(x-4)}{x+5}-3(x+5)(x-4)=\frac{1(x+5)(x-4)}{x-4}+3(x+5)(x-4) \)
\( \frac{3(x-4)}{1}-3 x^{2}+3 x-60=\frac{x+5}{1}+3 x^{2}+3 x-60 \)
\( 3 x-12-3 x^{2}+3 x-60=x+5+3 x^{2}+3 x-60 \)
\( 6 x-72-3 x^{2}=4 x+55+3 x^{2} \quad 1+72 \)
\( 6 x-3 x^{2}=4 x+127+3 x^{2} \quad 1-4 x \)
\( 2 x-3 x^{2}=+127+3 x^{2} 1+3 x^{2} \)
\( 2 x=127+6 x^{2} \)

Answer 1

Löse die quadratische Gleichung ganz am Ende Deiner Umformungen.

(ich habe nicht überprüft ob die richtig sind)

Answer 2

Aloha :)

Da einer der Nenner für \(x=-5\) zu Null wird und einer der Nenner für \(x=4\) zu Null wird, können wir diese beiden Werte als gemeinsame Schnittpunkte ausschließen, d.h. \(x\in\mathbb R\setminus\{-5;4\}\). Wir können daher im ersten Schritt beide Seiten der Gleichung durch \((x+5)(x-4)\ne0\) dividieren:

$$\left.\frac{3}{x+5}-3=\frac1{x-4}+3\quad\right|+3$$$$\left.\frac{3}{x+5}=\frac1{x-4}+6\quad\right|-\frac{1}{x-4}$$$$\left.\frac{3}{x+5}-\frac{1}{x-4}=6\quad\right|\text{linke Seite auf den Hauptnenner bringen}$$$$\left.\frac{3(x-4)}{(x+5)(x-4)}-\frac{x+5}{(x+5)(x-4)}=6\quad\right|\text{links die Brüche addieren}$$$$\left.\frac{(3x-12)-(x+5)}{(x+5)(x-4)}=6\quad\right|\text{Zähler zusammenfassen}$$$$\left.\frac{2x-17}{(x+5)(x-4)}=6\quad\right|\cdot(x+5)(x-4)$$$$\left.2x-17=6(x+5)(x-4)\quad\right|\text{rechts ausmultiplizieren}$$$$\left.2x-17=6x^2+6x-120\quad\right|-2x+17$$$$\left.6x^2+4x-103=0\quad\right|\colon6$$$$\left.x^2+\frac23x-\frac{103}{6}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=-\frac13\pm\sqrt{\frac19+\frac{103}6}=-\frac13\pm\sqrt{\frac{2+309}{18}}=-\frac13\pm\sqrt{\frac{311}{9\cdot2}}=-\frac13\pm\frac13\sqrt{\frac{311}{2}}$$

Answer 3

In der zweiten Zeile stecken Vorzeichenfehler.

\(\frac{3(x-4)}{1}-3 x^{2}-3 x+60=\frac{x+5}{1}+3 x^{2}+3 x-60 \)

\(3x-12-3x^2-3x+60=x+5+3x^2+3x-60\)

usw.

:-)