Bestimmen Sie den Parameter a so, dass sich die Geraden g und h schneiden.

Question

Aufgabe: Gegeben sind die Gleichungen der geraden ga und h

ga:x=(0|0|2)+s*(a|2|-2)

h:x=(0|2|1)+t*(2|0|-1)

Bestimmen Sie den Parameter a so, dass sich die Geraden g und h schneiden.

Problem/Ansatz:

Kann mir das jemand vorrechnen?

Comments

ga:x=(0|0|2)+s*(a|2|-2) das ist die richtige Gleichung dafür

dann sieht das so aus:

Alle Geraden der Geradenschar \(g_a\) liegen in der bläulichen Ebene. Die Gerade \(h\) (grün mit rotem Richtungsvektor) schneidet die Ebene bei \((2|\,2|\,0)\).

Die Lösung \(a=2\) kannst Du der Zeichnung entnehmen. Der Rechenweg ist der gleiche wie in den Antworten unten angegeben.

Wenn Du auf das Bild klickst, öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren Eindruck.

Answer 1

(0|0|2)+s*(a|2|-2) = (0|2|1)+t*(2|0|-1)

Die Gleichung in ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen umwandeln.

Das Gleichungssystem lösen.

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Sehr schön, die einzig richtige Antwort!

Answer 2

Aloha :)

Der gemeinsame Vektor \(\vec x\) muss beide Gleichungen erfüllen:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}a\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\implies s\begin{pmatrix}a\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$$Wenn du dir nun die Gleichung für die zweite Koordinate genau anschaust:$$2s=2+0\cdot t$$stellst du fest, dass die rechte Seite immer gleich \(2\) ist, egal welchen Wert wir für \(t\) wählen. Daher muss \(s=1\) sein und die Gleichung vereinfacht sich zu:

$$\begin{pmatrix}a\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}a\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$$Wegen der Gleichung für die dritte Koordinate muss \(t=-1\) gelten, sodass \(a=-2\) ist.

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Diese Lösung betrifft nicht die vom Fragesteller nachträglich ergänzte Aufgabe.

Answer 3

Hier nur eine Kontroll-Lösung

[0, 0, 2] + s·[a, 2, -2] = [0, 2, 1] + t·[2, 0, -1] --> a = 2 ∧ s = 1 ∧ t = 1

für a = 2 ist der Schnittpunkt

S = [0, 2, 1] + [2, 0, -1] = [2, 2, 0]

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Diese Lösung betrifft nicht die vom Fragesteller nachträglich ergänzte Aufgabe.

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Danke. Ich habe die Lösung an die Ergänzung angepasst.