Werte der Terme und Bedeutung für den Sachverhalt angeben

Question

Die Höhe einer startenden Rakete kann in den ersten 20 Sekunden nach dem Start näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion mit dem Term h(t)=3t^2

Dabei wird die Zeit t nach dem Start in s und die zugehörige Höhe h(t) in m angegeben.

Bestimmen Sie die folgenden Werte der Terme und geben sie deren Bedeutung für den Sachverhalt an.

1)h(5)

2)h(10)-h(0)

3) \( \frac{h(10)-h(0)}{10-0} \)

4) h‘(5)

5) lim t->10  \( \frac{h(t)-h(10)}{t-10} \)

1) und 4) habe ich selbst schon hingekriegt jedoch verzweifle ich bei Nummer 5) besonders. Die anderen habe ich auch versucht zu lösen jedoch bin ich mir ziemlich sicher dass mein Ansatz falsch ist

Ich wäre sehr dankbar wenn jemand helfen könnte.

Answer 1

verzweifle ich bei Nummer 5)

\(\lim\limits_{t\to 10}\frac{h(t) - h(10)}{t-10}\) ist die Ableitung von \(h\) an der Stelle \(t = 10\).

Geometrisch ist das die Steigung des Funktionsgraphen von \(h\) an der Stelle \(t = 10\).

Im Sachzusammenhang ist das die Geschwindigkeit der Rakete zum Zeitpunkt 10 Sekunden nach dem Start (in \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)).

Die anderen habe ich auch versucht zu lösen jedoch bin ich mir ziemlich sicher dass mein Ansatz falsch ist

Erzähl mal, welche Ergebnisse du da hast und ich schaue mir das an.

Comments

Bei dem 2. hab ich die Rechnung an sich richtig, jedoch hab ich nicht ganz verstanden, worin der Unterschied liegt ob ich jetzt einfach nur h(10) berechne oder h(10) -h(0). demnach konnte ich die Bedeutung für den Sachverhalt nicht lösen.

Bei dem 3ten habe ich nicht verstanden was der Nenner darstellen soll. Jetzt beim genaueren Überlegen denke ich mal das die 10 die Zeit in sek ist nach Start und die h(10) im Zähler der dazugehörige Wert. Also die Höhe in Metern zur Zeit t=10 ? Hier wiederrum die Frage warum man minus h(0) berechnet. Man hat ja schon die. 10 Sekunden seit Start.

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worin der Unterschied liegt ob ich jetzt einfach nur h(10) berechne oder h(10) -h(0).

Das ist ungefähr der gleiche Unterschied wie zwischen 17:00 Uhr und 17:00 Uhr - 0:00 Uhr. Ersteres ist ein Zeitpunkt, letzteres ist eine Zeitdauer.

In deinem Fall ist \(h(10)\) eine Höhe und \(h(10) - h(0)\) ein Höhenunterschied.

Bei dem 3ten habe ich nicht verstanden was der Nenner darstellen soll.

Die Steigung einer Geraden durch die Punkt \(A = (x_1|y_1)\) und \(B = (x_2 | y_2)\) ist

        \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Im Sachzusammenhang entspricht die Steigung der Durchschnittsgeschwindigkeit.

Answer 2

1) h(5) = 75 m → Die Höhe der Rakete 5 Sekunden nach dem Start.

2) h(10) - h(0) = 300 m → Die Strecke welche die Rakete innerhalb der ersten 10 Sekunden zurückgelegt hat.

3) (h(10) - h(0)) / (10 - 0) = 30 m/s → Die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete in den ersten 10 Sekunden.

4) h'(5) = 30 m/s → Die Momentangeschwindigkeit der Rakete 5 Sekunden nach dem Start.

5) lim (t -->10) (h(t) - h(10)) / (t - 10) = h'(10) = 60 m/s → Die Momentangeschwindigkeit der Rakete 10 Sekunden nach dem Start.