Lineares Gleichungssystem mit zusätzlicher Variabel

Question

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ b & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \)
in Abhing'gkd von paremeler \( b \in R \)
\( \begin{array}{l} x_{1}=2 \\ x_{2}=2 \end{array} \)

Aufgabe

siehe Bild

Problem/Ansatz

Wie bestimme ich hier x1 und x2? Wie gehe ich mit dem Parameter b um?

gerne vorrechnen vielen Dank :)

Answer 1

Ausgeschrieben mit x,y statt x1 x2 ist es

x-y=1 und bx +3y = 2

also y=x-1 und bx + 3x - 3 = 2

                       (b+3)x = 5

Für b≠-3 also x = 5/(b+3) und y =  5/(b+3) - 1 = (2-b)/b+3)

Für b=-3 ist es 0*x=5 , also gibt es kein x, das dies erfüllt,

somit:  Lösungsmenge leer.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du dir die Matrix-Gleichung als Vektorgleichung aufschreibst$$\binom{1}{b}x_1+\binom{-1}{3}x_2=\binom{1}{2}$$folgt aus der Gleichung für die erste Komponente:$$1=x_1-x_2\implies x_2=x_1-1$$Das setzen wir in die Gleichung für die zweite Komponente ein:$$2=bx_1+3x_2=bx_1+3(x_1-1)=(b+3)x_1-3\implies (b+3)x_1=5\implies x_1=\frac{5}{b+3}$$Die Lösung lautet also:$$x_1=\frac{5}{b+3}\quad;\quad x_2=\frac{5}{b+3}-1=\frac{2-b}{b+3}\quad;\quad b\ne-3$$Für \(b=-3\) hat das Gleichungssystem keine Lösung. (Division durch Null).