Question

Berechne Umfang und Flächeninhalt des Trapezes.

a)

\( h=4,8 \mathrm{~cm} \)
\( \overline{B C}=6,5 \mathrm{~cm} \)
\( \overline{\mathrm{DA}}=5,1 \mathrm{~cm} \)
\( \overline{A C}=8,4 \mathrm{~cm} \)

b)

\( \overline{\mathrm{AB}}=21,0 \mathrm{~cm} \)
\( \overline{\mathrm{BC}}=\mathrm{DA}=7,4 \mathrm{~cm} \)
\( \overline{\mathrm{CD}}=12,6 \mathrm{~cm} \)

Answer 1

Berechne zunächst die Länge der Seite a. Bezeichne dazu den Fußpunkt der Höhe durch C mit F_C . Zeichne auch die Höhe durch Punkt D ein und bezeichne deren Fußpunkt mit F_D

Dann kannst du die Strecken AF_D und F_CB aus den gegebenen Streckenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

AF_D² + h ² = DA ²

<=> AF_D = √ ( DA ² - h ² ) = √ ( 5,1 ² - 4,8 ² ) = 1,72 cm

und

F_CB ² + h ² = BC ²

<=> F_CB  = √ ( BC ² - h ² ) = √ ( 6,5 ² - 4,8 ² ) = 4,38 cm

Damit hat man die beiden "Enden" der Seite a berechnet. Das mittlere Stück, also die Strecke F_DF_C ist genauso lang wie die Seite d, deren Länge man aber noch nicht kennt. Diese berechnet man nun:

Die Strecke AF_C bildet mit der Höhe durch Punkt C und der Diagonalen AC ein rechtwinkliges Dreieck. Hypotenuse ist die Diagonale. Die Höhe h und die Länge der Diagonalen sind bekannt, also kann man die Länge der Strecke AF_C mit dem Pythagoras berechnen:

AC ² = AF_C² + h ²

<=> AF_C² =  AC ^{2 -} h ²

<=> AF_C =  √ ( AC ^{2 -} h ² ) = √ ( 8,4 ² - 4,8 ² ) = 6,89 cm

Da die Strecke AF_C aus der Strecke AF_D und der Strecke F_DF_C besteht, gilt also

F_D F_C =  AF_C - AF_D = 6,89 - 1,72 = 5,17 cm

Das ist gleichzeitig auch die Länge der Seite d, also:

d = 5,17 cm

Die Länge der Seite a kann man nun auch angeben:, es gilt:

a = AF_D + F_D F_C + F_CB  = 1,72 cm + 6,89 cm + 4,38 cm = 13 cm (gerundet)

Die Längen der Seiten b und c sind gegeben, a und d wurden berechnet, also kann man nun den Umfang U des Trapezes angeben:

U = a + b + c + d

= 13 + 6,5 + 5,1 + 5,17

= 29,77 cm

 

Die Trapezfläche besteht aus dem Rechteck F_DF_CCD sowie den beiden rechtwinkligen Dreiecken BF_CC und AF_DD.

Der Flächeninhalt A₁ des Rechtecks F_DF_CCD ist:

A₁= F_DF_C * h = 5,17 * 4,8 = 24,8 cm ²

Der Flächeninhalt A₂ des :Dreiecks BF_CC ist:

A₂ = F_CB * h / 2 = 4,38 * 4,8 / 2 = 10,5 cm ²

und der Flächeninhalt A₃ des :Dreiecks AF_DD. ist:

A₃ = AF_D * h / 2 = 1,72 * 4,8 / 2  = 4,13 cm ²

Der Flächeninhalt A des Trapezes ist somit:

A = A₁ + A₂ + A₃ =  24,8 + 10,5 + 4,13 = 39,43 cm ²

 

Die andere Aufgabe läuft ganz ähnlich: Überlege dir immer, wo du rechte Winkel finden kannst oder wie du sie erzeugen kannst.  Fast immer bei Schulaufgaben lasen sich solche Aufgaben durch zerlegen der Fäche in Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke lösen.