Grenzwert eines Bruchs mit Wurzel im Zähler und x im Nenner berechnen

Question

Aufgabe: Gesucht ist der Grenzwert gegen plus und minus Unendlich der Funktion $$f(x)=\frac{(\sqrt{x^2+3})}{x}$$

Also:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+3})}{x}; \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\frac{(\sqrt{x^2+3})}{x}$$

…

Problem/Ansatz: Das Problem ist wenn man den Term $$\frac{(\sqrt{x^2+3})}{x}$$ in dem Grenzwert umformt um den Grenzwert zu lösen wird das Prinzip der Equivalenzumformung verletzt. Meine Frage ist wie man das mathematisch richtig löst.

Mein Ansatz: $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+3})}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{({x^2+3})}{x·|x|}$$

Somit würde das auch mit dem Grenzwert gegen minus Unendlich klappen

Stimmt das so/Gibt es eine mathematisch schönere Option?

Answer 1

schreib im Nenner x=+√x^2,  für x>0 und -√x^2  dann dividiere   und du hast √(1+3/x^2)/1 für x>0 und √(1+3/x^2)/(-1) und der GW ist leicht zu finden. deine Methode kannst du anwenden, wenn du deinen GW ausrechnest und daraus auf den mit der wurzel schließt , du kannst aber nicht einfach 0 dazwischen schreiben.

Gruß lul

Comments

Moin

Was meinst du mit null dazwischen schreiben und mit “daraus auf den mit der Wurzel schließt”?

Deine Lösung habe ich verstanden! So ähnlich habe ich auch gedacht!

Mit freundlichen Grüßen

Etienne

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Hallo

die 0 war ein Tipfehler, es sollte = heißen

lul

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}$$Ich würde die Betrachtung von \(x\) auf positive bzw. negative Werte beschränken:$$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\stackrel{(x>0)}{=}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{x^2}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x^2+3}{x^2}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}=1$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\stackrel{(x<0)}{=}\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{-\sqrt{x^2}}=-\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{x^2+3}{x^2}}=-\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}=-1$$

~plot~ sqrt(x^2+3)/x ; [[-10|10|-6|6]] ~plot~

Answer 3

f (x) =  √ (x^2 + 3) / x
wenn x gegen ±∞ geht dann entfällt die 3

f (x) =  √ x^2 / x
x^2 ist für (±∞) gleich
f (x) =  +x / x
Bei +∞ = +∞ / +∞ = + 1
Bei -∞ = +∞ / -∞ = - 1

Answer 4

Für x gg. +-oo kann man +3 vernachlässigen.

-> √x^2/x = +-x/x = +-1

x gg. +oo -> lim = 1

x gg. -oo -> lim = -1