Bestimme alle Lösungen der komplexen Zahl: Z^5= -1+i in der exponentialform.

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Lösungen der komplexen Zahl: Z^5= -1+i        in der exponentialform.

Problem/Ansatz:

r=\( \sqrt[5]{-1^2+1^2} \)=1,15

-1+i entspricht 180°

180°/5 =36°=φ1

360°/36°=10°

36°+10°=46°=φ2

36°+2*10°=56°=φ3

36°+3*10°=66°=φ4

36°+4*10°=76°=φ5

Z1=1,15*e^(i*36°)

Z2=1,15*e^(i*46°)

Z3=1,15*e^(i*56°)

Z4=1,15*e^(i*66°)

Z5=1,15*e^(i*76°)

ich könnte die grad° noch in Bogenmaß umwandeln mit Grad°/57,296, dass habe ich mir aber jetzt gespart.

ist die Lösung denn richtig?

Answer 1

Die ungefähren Lösungen sind:

x ≈ -1.058578152 + 0.1676623082·î

x≈-0.48657-95496·î

x ≈ -0.4865749698 - 0.9549571475·î

x ≈ -0.1676623082 + 1.058578152·î

x ≈ 0.9549571475 + 0.4865749698·î.

Answer 2

Hallo,

der Betrag lautet :√ ((-1)^2 + 1^2)= √2

der Winkel : tan φ = 1/-1 = -1 ->2.Quadrant =135° (3π/4)

Mit Wolfram Alpha kannst Du das Ergebnis selbst überprüfen:

https://www.wolframalpha.com

\( z \approx 0.95496+0.48657 i \)

\( z \approx-0.48657-0.95496 i \)
\( z \approx-0.16766+1.05858 i \)
\( z \approx 0.75786-0.75786 i \)
\( z \approx-1.05858+0.16766 i \)

Comments

ok vielen dank, das heißt, wenn ich a+bi gegeben habe (oder x+yi) dann muss ich also den genauen Winkel errechnen. sollte ich nur a oder b gegeben haben, kann ich dann einfach den Winkel des Quadranten nehmen und meine oben stehende Formel benutzten?

---

die beiden Formeln (Betrag und Winkel) gelten immer.

Answer 3

Dein Lösungsversuch enthält leider sehr viele Fehler.

\(z^5=-1+i\\|1+i|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\\ \arg(1+i)=135°=0,75\pi\\z^5=\sqrt2\cdot e^{i\cdot 0,75\pi}\\|z|=\sqrt[10]2\\ \arg(z_1)=0,15\pi\\ \arg(z_n)=0,15\pi + (n-1)\cdot 0,4\pi\\ ~~~~~~~~n\in\{2;3;4;5\}\)