Aloha :)
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(n\) Patienten höchstens \(2\) Patienten Karies haben, beträgt:
$$P(\le2)=\binom{n}{0}0,8^0\cdot0,2^n+\binom{n}{1}0,8^1\cdot0,2^{n-1}+\binom{n}{2}0,8^2\cdot0,2^{n-2}$$$$\phantom{P(\le2)}=0,2^n+n\cdot0,8\cdot0,2^{n-1}+\frac{n^2-n}{2}\cdot0,8^2\cdot0,2^{n-2}$$$$\phantom{P(\le2)}=0,2^n\left(1+n\cdot\frac{0,8}{0,2}+\frac{n^2-n}{2}\cdot\frac{0,8^2}{0,2^2}\right)=0,2^n\left(1+4n+8n^2-8n\right)$$$$\phantom{P(\le2)}=0,2^n(1-4n+8n^2)$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 der \(n\) Patienten Karies haben beträgt also:$$P(\ge3)=1-P(\le2)=1-0,2^n(1-4n+8n^2)$$Diese soll mindestens \(0,95\) sein:
$$\left.1-0,2^n(1-4n+8n^2)\ge0,95\quad\right|-1$$$$\left.-0,2^n(1-4n+8n^2)\ge-0,05\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.0,2^n(1-4n+8n^2)\le0,05\quad\right|\cdot 5^n$$$$\left.1-4n+8n^2\le\frac{5^n}{20}\quad\right.$$
Da diese Ungleichung nur numerisch lösbar ist, probieren wir ab \(n=3\) durch.
Bei \(n=5\) finden wir \(181\le156,25\), was noch nicht passt.
Bei \(n=6\) finden wir \(265\le781,25\), und haben damit das Problem gelöst.
Es müssen mindestens \(n=6\) Patienten-Karten entnommen werden.
(Die numerische Lösung ist übrigens \(n>5,12306\))
