Wie bestimme ich alpha und beta?

Question

Bestimmen Sie die Parameter \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) so, dass das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \),
\( \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} x^{2}+\alpha x-4 x y \\ -2 x y+\beta y^{2} \\ -2 z \end{array}\right) \)
ein Vektorpotential besitzt.

Dann ist alpha=_____, beta=______

Nach dem man hier abgeleitet hat, was muss man dann machen?

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(\vec v\) ein Vektorpotential \(\vec A\) hat, gilt \(\vec v=\operatorname{rot}\vec A\). Da die Divergenz eines Rotationsfeldes immer verschwindet, bedeutet dies:$$\operatorname{div}\vec v=\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec A=0$$Wir müssen \(\alpha\) und \(\beta\) also so bestimmen, dass die Divergenz von \(\vec v\) verschwindet:$$0\stackrel!=(2x+\alpha-4y)+(-2x+2\beta y)-2=\alpha-4y+2\beta y-2=(\alpha-2)-2y(2-\beta)$$Diese Gleichung ist für alle \(x\) und für alle \(y\) erfüllt, falls gilt:$$\alpha=2\quad;\quad\beta=2$$