Konvergenzradius und Taylorreihe

Question

Hallo,

ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht. Hat hier jemand einen Ansatz bzw. eine Erklärung für?

Text erkannt:

Es bezeichne \( R \) der Konvergenzradius einer Taylorreihe \( \mathrm{T}_{f} \) mit \( x_{0}=0 \). Welche Aussage ist im Allgmeinen falsch?
\( \mathrm{T}_{f} \) ist für alle \( |x| \leq R \) konvergent
\( \mathrm{T}_{f} \) ist eine Potenzreihe
\( \mathrm{T}_{f} \) ist kein Polynom
\( \mathrm{T}_{f} \) konvergiert in mindestens einem Punkt

Answer 1

Aloha :)

1) \(T_f\) ist für alle \(|x|\le R\) konvergent.

FALSCH. Die Konvergenz ist nur für \(|x|<R\) gesichert. An den Rändern kann die Taylorreihe konvergieren, muss aber nicht.

2) \(T_f\) ist kein Polynom.

JEIN... Das könnte FALSCH oder RICHTIG sein. Polynome sind eigentlich so definiert, dass sie einen höchsten Grad \(n<\infty\) haben. Eine Taylorreihe kann unendlich viele Summanden haben, daher wäre sie im strengen Sinn kein Polynom. Schau mal in die Vorlesung, wie ihr das definiert habt.

3) \(T_f\) ist eine Potenzreihe.

RICHTIG.

4) \(T_f\) konvergiert mindestens in einem Punkt.

RICHTIG. Alle Potenzen in der Taylorreihe haben die Form \((x-x_0)^n\). Für \(x=x_0\) werden diese alle zu \(0\) und \(T_f\) nimmt den Wert \(a_0\) der Taylorreihe an.

Answer 2

Im allgemeinen konvergiert eine Taylorreihe innerhalb ihres Konvergenzradius und divergiert außerhalb. Welche der Aussagen steht dazu im Widerspruch?

Comments

Ich ergänze noch den Hinweis, dass mehrere der Aussagen im allgemeinen falsch sind.

---

Danke für deine schnelle Rückmeldung, dann denke ich dass "Tf konvergiert mindestens in einem Punkt" falsch sein muss.

Wie siehst du das?
LG

---

Ja, in diesem Fall muss der Konvergenzradius 0 sein.