Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren bestimmen?

Question

Hallo zusammen!

Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist und berechnen Sie den Flächeninhalt. A(2I1I1) B(5I2I3) C(3I0I0)

Ob das Dreieck rechtwinklig ist, habe ich mithilfe des Skalarprodukts berechnet, da kam raus, dass es nicht rechtwinklig ist. Bei der Berechnung des Flächeninhalts habe ich jedoch Probleme... Ich habe häufiger gelesen, dass ich dafür die Seitenlängen und die Umkehrung des Pythagoras brauche. Die Seitenlängen habe ich bereits ausgerechnet: AB=√14 ; BC=√17 ; CA=√3

Nun weiß ich nicht wie's weiter gehen soll. Könnte mir jemand helfen? :)

Danke

Answer 1

Die Fläche ist der halbe Betrag des Vektorproduktes \( \vec{AB} \) ×\( \vec{AC} \) .

Answer 2

Hallo,

bilde das Kreuzprodukt z.B. von AB und BC, berechne dessen Betrag und teile durch 2. Dann hast du den Flächeninhalt des Dreiecks.

Überprüfe bitte nochmal deine Rechnung zu a). Wenn ich das Skalarprodukt von AB und BC berechne, ist das Ergebnis 0.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo! Danke für die Antwort :)

Das Kreuzprodukt kenne ich noch nicht... dennoch danke!

Beim Skalarprodukt war ich mir jetzt unsicher... ich dachte, man müsste a•b b•c und c•a rechnen. Bei mir kam bei a•b und bei b•c 15 raus, ich wusste aber nicht, dass man beim Skalarprodukt zusätzlich beide Ergebnisse miteinander subtrahieren muss... oder hast du eine andere Rechnung?

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Zum Kreuzprodukt empfehle ich dir dieses Video:

https://www.youtube.com/watch?v=63FWetdwNb8

Da das Dreieck rechtwinklig ist, hast du ja schon die Höhe und kannst mit der "normalen" Flächenformel arbeiten.

Meine Rechnung zum Skalarprodukt sieht so aus:

\( \overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{A C}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)=3 \cdot 1+1 \cdot(-1)+2 \cdot(-1) \)

\( =3-1-2  \)
\( =0 \)

Answer 3

Aloha :)

Die Seitenlängen des Dreiecks sind:$$\overline{AB}=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\left\|\vec b-\vec a\right\|=\left\|\begin{pmatrix}5-2\\2-1\\3-1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$$$$\overline{AC}=\left\|\overrightarrow{AC}\right\|=\left\|\vec c-\vec a\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3-2\\0-1\\0-1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$$$$\overline{BC}=\left\|\overrightarrow{BC}\right\|=\left\|\vec c-\vec b\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3-5\\0-2\\0-3\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-2\\-2\\-3\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$$

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ist sofort klar, dass das Dereick rechtwinklig ist, denn:$$(\overline{BC})^2=17=3+14=(\overline{AC})^2+(\overline{AB})^2$$

Die beiden kurzen Seiten stehen also senkrecht aufeinander. Ihr Produkt ist gleich der Fläche des aufgespannten Rechtecks, also ist das halbe Produkt die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks:$$F=\frac12\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{14}=\frac12\cdot\sqrt{42}$$