Warum kann nur die e-Funktion mit ihren Ableitungen addiert in der Summe 0 ergeben?

Question

die Frage steht oben bereits oben :)

Comments

die Frage steht oben bereits oben :)

...und ist falsch gestellt. Auch die konstante Funktion y=0 hat die Eigenschaft y+y'=0.

Answer 1

Es sei \(f\) eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass \(f+f^\prime\) identisch mit der Nullfunktion ist.
Definiere eine Funktion \(h\) durch \(h(x)=f(x)\cdot\mathrm e^x\). Offenbar ist \(h\) differenzierbar und nach der Produktregel ist$$h^\prime(x)=f(x)\cdot\mathrm e^x+f^\prime(x)\cdot\mathrm e^x=\big(f(x)+f^\prime(x)\big)\cdot\mathrm e^x=0$$für alle \(x\). Daher existiert eine Konstante \(c\in\mathbb R\) mit \(h(x)=c\). Es ist also \(c=f(x)\cdot\mathrm e^x\) und damit \(f(x)=c\cdot\mathrm e^{-x}\).

Answer 2

y + y' = 0

<=>   y = - y'  =  -dy/dx

<=> dx =  -1/y dy  Integrieren

x =  - ln(y)  + c

-x + c = ln (y)

e^(-x+c) = y

Comments

Deine Äquivalenzen stimmen so nicht.