Nach Untersuchung eines technischen Sachverhalts erhalten Sie die Differentialgleichung

Question

Aufgabe: Nach Untersuchung eines technischen Sachverhalts erhalten Sie die Differentialgleichung

y'(t)+4y(t)=e^_5t

Lösen Sie die Differentialgleichung mit der Anfangswertbedingung y(0)=5, in dem Sie zuerst eine allgemeine Lösung der homogene DGL und dann eine partikulären Lösung zur gesamten DGL finden

Hat jemand eine Ahnung davon ?

Answer 1

Du musst für y etwas einsetzen, sodass die obige Gleichheit gilt. y' ist die Ableitung von y. Google mal nach "Variation der Konstanten"

Answer 2

Hallo,

Lösung durch Variation der Konstanten:

y'(t)+4y(t)=e^(5t)

1.)->homogene Gleichung:

y'(t)+4y(t)=0

dy/dt = -4y

dy/y= -4 dt

ln|y|= -4 t+C

yh=C1 *e^(-4t)

2.)Setze C1=C(t)

yp=C(t) *e^(-4t)

yp'= C'(t) *e^(-4t) -4C(t) e^(-4t)

3.) Setze yp , yp' in die DGL ein:

y'(t)+4y(t)=e^(5t)

C'(t) *e^(-4t) -4C(t) e^(-4t) + 4 C(t) *e^(-4t) =e^(5t)

C'(t) *e^(-4t)  =e^(5t)   C(t) muß sich wegkürzen

C'(t) *e^(-4t)  =e^(5t)

C'(t)= e^(9t)

C(t)= e^(9t)/9

4.)yp=C(t) *e^(-4t)

yp= e^(9t)/9 *e^(-4t)

yp=e^(5t)/9

5.)y=yh +yp

y= C1 *e^(-4t) +e^(5t)/9

6.)AWB einsetzen in die Lösung ,y(0)=5

y= C1 *e^(-4t) +e^(5t)/9

5= C1 +1/9

C1=44/9

-------->

y= 44/9 *e^(-4t) +e^(5t)/9