Aufgabe:
Untersuchen Sie das Problem $$y'(x)=sgn(x)\cdot y(x), y(0)=1$$ auf Eindeutigkeit, Existenz, Lösungsformel und Lösung auf größtmöglichem Intervall. sgn(x) bezeichnet die Signumfunktion. In der VL haben wir immer den Satz nach Peano benutzt und das die DGL höchstens eine Lösung hat, wenn die erste partielle Ableitung von f nach y existiert, wobei y'=f(x,y).
Problem/Ansatz:
Da sgn(x) in 0 nicht stetig ist, ist f(x,y)=sgn(0)*y ja eigentlich auch nicht stetig, weswegen der Satz von Peano nicht angewendet werden kann. Die partielle Ableitung von f nach y ist sgn(x), was ja auch nicht stetig ist. Ich weiß nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen?