Untersuchung einer Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Problem $$y'(x)=sgn(x)\cdot y(x), y(0)=1$$ auf Eindeutigkeit, Existenz, Lösungsformel und Lösung auf größtmöglichem Intervall. sgn(x) bezeichnet die Signumfunktion. In der VL haben wir immer den Satz nach Peano benutzt und das die DGL höchstens eine Lösung hat, wenn die erste partielle Ableitung von f nach y existiert, wobei y'=f(x,y).

Problem/Ansatz:

Da sgn(x) in 0 nicht stetig ist, ist f(x,y)=sgn(0)*y ja eigentlich auch nicht stetig, weswegen der Satz von Peano nicht angewendet werden kann. Die partielle Ableitung von f nach y ist sgn(x), was ja auch nicht stetig ist. Ich weiß nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen?

Comments

Nimm an, es gibt eine Lösung. Welche Differentialgleichung erfüllt diese Lösung für x>0? Welche Lösungen sind d daher für x>0 möglich? Wie lässt sich die Anfangsbedingung erfüllen?

Überlege nun für x<0.

Was folgt insgesamt?

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Kein Interesse mehr?

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Das Problem hatte ich gelöst. Trotzdem vielen Dank!!

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Mich würde Dein Ergebnis interessieren

Answer 1

Ein Anfangswertproblem ist eindeutig lösbar, wenn die zugehörige Funktion die Lipschitzbedingung erfüllt. In dem Falle muss deine Funktion f: R^2 -> R, f(t,x) := sgn(t) |x| lokal lipschitz-stetig bzgl. x sein. Lokale Lipschitzstetigkeit kannst du entweder mit der Definition prüfen, oder du nutzt die Eigenschaft, das diese gilt, wenn die Funktion f nach x partiell differenzierbar ist und die partielle Ableitung stetig ist. Für t ≠ 0 kannst du ja es problemlos machen. Für t = 0 könntest du es dann mit der Definition überprüfen

Comments

Du hast die Funktion f falsch definiert. Außerdem ist bei den Sätzen von Peano sowie Picard Lindelöf Voraussetzung, dass die "Rechte Seite" stetig ist.

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Wenn eine Funktion lokal lipschitzstetig ist, so ist sie schon stetig.

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Beim Satz von Picard Lindelöf wird Lipschitz Stetigkeit bzgl der zweiten Variable von f vorausgesetzt. Zusätzlich die Stetigkeit in beiden Variablen.

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Also ich habe es so gelernt, das wenn f lokal Lipschitzstetig bzgl x ist, das f dann auch für die Punkte stetig ist

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Das Beispiel der Aufgabe ist doch ein Gegenbeispiel: f(t,x,)=sign(t)*x ist L- stetig bezüglich x, aber unstetig im Nullpunkt als Funktion von (t,x)

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Stimmt hast Recht. Habe da was verwechselt