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Ich würde zunächst die Differentialgleichung durch einfache Integration lösen:$$y'=\frac xy\stackrel{\cdot y}{\implies} yy'=x\stackrel{\text{(integrieren)}}{\implies}\frac12y^2+c_1=\frac12x^2+c_2\implies y^2=x^2+2(c_2-c_1)$$
Aus den Integrationskonstanten \(c_1\) und \(c_2\) bilden wir eine neue Konstante \(c\coloneqq 2(c_2-c_1)\) und erhalten als allgemeine Lösung der Differentialgleichung:$$y=\pm\sqrt{x^2+c}$$
Nun führen wir die Fallunterscheidungen durch.
1. Fall: \(y>|x|\)
Wegen \(y>|x|\ge0\) kommt nur die positive Lösung in Betracht: \(y=\sqrt{x^2+c}\).
Wegen \(y>|x|=\sqrt{x^2}\) muss zusätzlich \(c>0\) gelten.
Für die Anfangsbedingung heißt das: \(y_0=y(x_0)>|x_0|\)
2. Fall: \(y=|x|\)
Wegen \(y=|x|\ge0\) kommt nur die positive Lösung in Betracht: \(y=\sqrt{x^2+c}\).
Wegen \(y=|x|=\sqrt{x^2}\) muss zusätzlich \(c=0\) gelten.
Für die Anfangsbedingung heißt das: \(y_0=y(x_0)=|x_0|\)
3. Fall \(0<y<|x|\)
Wegen \(0<y\) kommt wieder nur die positive Lösung in Betracht: \(y=\sqrt{x^2+c}\).
Wegen \(y<|x|=\sqrt{x^2}\) muss nun \(c<0\) gewählt werden.
Für die Anfangsbedinung heißt das: \(0<y_0=y(x_0)<|x_0|\).
