Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, ihre Summe ist gerade. (Beweis durch Termumformungen)

Question

Aufgabe:

Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, ihre Summe ist gerade.

Beweise die Behauptung algebraisch durch geeignete Termumformungen.

Wie kann man das beweisen

Answer 1

Hallo

benutze, das 2 ungerade Zahlen die Form 2n+1 und 2m+1 haben mit n,m in ℤ

und dann einfach Summe und Produkt ausrechnen,

Gruß lul

Comments

Aber was ist genau der Beweis?

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Dass man Summe direkt ansieht, dass sie durch 2 Teilbar ist, weil jeder Summand durch 2 tb. ebenso Produkt ungerade,  weil gerade Zahl+1

lul

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Ja schon klar,aber weil man es durch Termumformungen beweisen soll.

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(2n+1)*(2m+1) = 4nm+2n+2m+1 = 2(2nm+n+m)+1

2n+1+2m+1 = 2(n+m+1)

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Aber was ist genau der Beweis?

... 'ne ziemlich gute Frage!

Die Voraussetzung ist, dass jede gerade Zahl \(g \in \mathbb Z\) und jede ungerade Zahl \(u \in\mathbb Z\) in folgender Form geschrieben werden kann:$$g = 2n, \space n \in \mathbb Z, \quad u = 2m+1, \space m \in \mathbb Z$$Und diese Darstellung ist eindeutig und umkehrbar (also bijektiv). D.h. es existiert keine Zahl \(x \in \mathbb Z\), die sowohl in der einen und der anderen Form dargestellt werden kann.

Das Produkt zweier ungerader Zahlen \(u_1=2m_1+1\) und \(u_2=2m_2+1\) ist$$u_1 \cdot u_2 = 2(\underbrace{2m_1m_2+m_1+m_2}_{\in \mathbb Z}) +1 = 2k +1 \quad k \in \mathbb Z$$ergibt die Darstellung einer ungeraden Zahl (s.o.) und muss in Folge dessen ungerade sein.

Mit der Summe kann man genau so verfahren.