Sei f so definiert….

Question

Sei f definiert mit a so, dass \( f \) stetig ist. Gibt es ein Polynom \( \mathrm{p}(\mathrm{x}) \) in \( \mathrm{R}[\mathrm{x}] \), welches \( \mathrm{p}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \) für alle reellen \( \mathrm{x} \) erfüllt?

\( f:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow\left[0, e^{1+\frac{\pi}{2}}\right], x \mapsto \sin x \exp (1+x) \)

Ja oder nein?

Comments

Hallo

was bedeutet das "mit a so..." ohne daß ein a vorkommt.

lul

Answer 1

Für ein solches Polynom gäbe es ein endliches \(k\), so dass die \(k\)-te Ableitung

und alle höheren Ableitungen die Null-Funktion wären.

Man kann aber leicht zeigen, dass für \(k=4n\) gilt:

\(f^{(4n)}(x)=(-4)^n\sin(x)\exp(1+x)\) und das ist auf dem angegebenen

Definitionsbereich sicher nicht die Nullfunktion.

Answer 2

So ein Polynom gibt es nicht.

Comments

Woher weißt du das?