Ist die Folge monoton, beschränkt, konvergent, eine Nullfolge?

Question

Ist die Folge

\(a_{n}:=\frac{(-1)^{n}}{\ln \left(1+e^{n}\right)} \cos (\pi n)\)

monoton?

beschränkt?

konvergent?

eine Nullfolge?

Comments

Berechne mal die ersten 10 Glieder, dann merkst du sicher

schon was.

Answer 1

Aloha :)

Lass dich hier nicht veräppeln, es ist \(\cos(\pi n)=(-1)^n\), sodass gilt:$$a_n=\frac{(-1)^n}{\ln(1+e^n)}\cos(\pi n)=\frac{(-1)^n\cdot(-1)^n}{\ln(1+e^n)}=\frac{1}{\ln(1+e^n)}$$Der Nenner wird mit jedem \(n\) größer, also wird \(a_n\) mit jedem \(n\) kleiner. Die Folge ist also streng monoton fallend.

Da der Nenner unendlich groß wird, ist der Grenzwert \(a_\infty=0\). Die Folge ist also eine Nullfolge.

Die Folge ist wegen ihrerer Monotonie auch beschränkt: \(a_1\ge a_n>0\).

Comments

Hallo, was mich interessiert, warum ist

cos(pi*n)=(-1)^n?

Danke im Voraus

---

Es gilt:$$\cos(0)=1\quad;\quad\cos(\pi)=-1$$Weiter ist die Cosinus-Funktion \(2\pi\)-peridisch, das heißt:$$\cos(x+2\pi\cdot k)=\cos(x)\quad;\quad k\in\mathbb Z$$Daher gilt:$$\cos(n\cdot\pi)=\left\{\begin{array}{ll}\cos(0) &\text{falls \(n\) gerade}\\\cos(\pi) &\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Und daher ist \(\cos(n\pi)=(-1)^n\).