Aloha :)
Aus dem Text entnehmen wir die Übergangswahrscheinlichkeiten pro Tick (=15 Minuten):$$p(A\to A)=\frac14\quad;\quad p(S\to A)=\frac34$$Gehen wir davon aus, dass die Teilnehmer nur auf dem Schulhof oder in der Aula aufhalten können und sich kein Teilnehmer in Luft auflöst, können wir die beiden fehlenden Übergangswahrscheinlichkeiten ergänzen:$$p(A\to S)=\frac34\quad;\quad p(S\to S)=\frac14$$
Damit können wir die Übergangsmatrix aufstellen und nehmen noch den Startzustand \(\vec x_0\) aus der Aufgabenstellung hinzu:
$$M=\left(\begin{array}{c} p(A\to A) & p(S\to A)\\p(A\to S) & p(S\to S)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac14 & \frac34\\[1ex]\frac34 & \frac14\end{array}\right)\quad;\quad\vec x_0=\binom{400}{1400}$$Nach der ersten Viertelstunde haben wir daher folgenden Zustand:
$$\vec x_1=M\cdot\vec x_0=\left(\begin{array}{c} \frac14 & \frac34\\[1ex]\frac34 & \frac14\end{array}\right)\cdot\binom{400}{1400}=\binom{1150}{650}$$und finden daher \(1150\) Besucher in der Aula und \(650\) auf dem Schulhof.
Für die Eigenwerte jeder Matrix gilt:
1) Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale.
2) Das Produtkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante.
Bei einer 2x2-Matrix kann man daraus 2 Gleichungen für die Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gewinnen. Hier konkret:$$\lambda_1+\lambda_2=\frac12\quad;\quad\lambda_1\cdot\lambda_2=-\frac12$$Wir stellen fest, dass \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=-\frac12\) diese Gleichungen erfüllen.
