Ist U ein Untervektorraum

Question

Ist

U = {u tensor v , wobei u,v € R^3}

ein Vektorraum? Begründen Sie

Ich habe das Gefühl, dass es falsch ist.

da

(u tensor v)+(u' tensor v') ungleich

(u+u' tensor v+v') ist. Isg das richtig so?

Comments

soll u ∈ R^3 und festes v sein oder alle u ∈ R^3 und alle v∈ R^3

was ist gemeint mit tensor v  ein fester tensor *v oder ein tensor namens v?

Gruß lul

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für alle u und v aus R^3. Und mit Tensor meinte ich z.B. für

u tensor v, dass da dieses umrandetes x-Zeichen ist bei "tensor", wenn du verstehst, was ich meine.

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Dein Gefühl ist richtig.

Die Begründung geht auch in die richtige Richtung, überlege dir aber ein explizites Gegenbeispiel, also suche u,v, x,y s.d. u tensor v + x tensor y nicht in U liegt

Answer 1

Seien \(e_1,e_2,e_3\) die Standardeinheitsvektoren.

Ich setze mal voraus, dass bekannt ist, dass die 9 Tensorprodukte

\(e_i\otimes e_j\) mit \(i,j\in \{1,2,3\}\) linear unabhängig sind.

Wäre \(U\) ein Unterraum, so müsste insbesondere

\(e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1\in U\) sein, d.h.

es gäbe \(u=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3,\; v=b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3\) mit

\(e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1=u\otimes v=\sum_{i,j=1}^3a_ib_je_i\otimes e_j\).

Koeffizientenvergleich liefert

\(a_1b_1=0,\; a_1b_2=1,\;a_1b_3=0\), folglich \(b_1=b_3=0\) und

\(a_2b_1=1\), was offenbar ein Widerspruch ist.