Entscheiden und begründen, welche der Abbildungen linear sind + Koordinatenmatrix bzgl. Standardbasen angeben

Question

(1) Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden Abbildungen linear sind:

(a) \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y, z) \mapsto(x+z, y+1) \),

(b) \( \varphi: \mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathbb{Q}^{2},(x, y) \mapsto\left(y^{2}, x\right) \),

(c) \( \varphi: \mathbb{F}_{2}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{F}_{2}^{\mathbb{N}},\left(a_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \mapsto\left(a_{2 i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \). (Erinnerung: \( \mathbb{F}_{2}^{\mathbb{N}} \) ist der Folgenraum über \( \mathbb{F}_{2} \).)

(2) Geben Sie die Koordinatenmatrix \( T=[\vartheta]_{\mathcal{E}, \mathcal{F}} \) für die lineare Abbildung

\( \vartheta: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad(x, y, z) \mapsto(x-y, y-z, x, z+x) \)

bezüglich der Standardbasen \( \mathcal{E}, \mathcal{F} \) an. Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}(\vartheta) \) und \( \operatorname{Bild}(\vartheta) \), indem Sie jeweils eine Basis berechnen.

Answer 1

Eine Abbildung V -> W heißt linear, wenn für alle x, y aus V und für alle a ∈ K (K ist der den Vektorräumen V und W zugrundeliegende Körper) gilt:

1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y  )

und

2) f ( a * x  ) = a * f ( x )

 

Prüfe also bei a) , b)  und c):

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y ) und ggf. auch noch φ ( a * x  ) = a * φ ( x ) ?

 

(a)

φ ( x + y )

= φ ( ( x1, x2, x3 ) ^T + ( y1, y2, y3 ) ^T )

= φ ( ( x1 + y1 ,  x2 + y2 , x3 + y3 ) ^T )

= ( x1 + y1 + x3 + y3 , x2 + y2 + 1 ) ^T

 

φ ( x ) + φ ( y )

= φ ( ( x1, x2, x3 ) ^T ) + φ ( ( y1, y2, y3 ) ^T )

= ( x1 + x3 , x2 + 1 ) ^T + ( y1 + y3 , y2 + 1 ) ^T

= ( x1 + x3 + y1 + y3 , x2 + 1 + y2 + 1 ) ^T

= ( x1 + y1 + x3 + y3 , x2 + y2 + 2 ) ^T

also:

φ ( x + y ) ≠ φ ( x ) + φ ( y )

=> φ ist keine lineare Abbildung.

 

b)

φ ( x + y )

= φ ( ( x1, x2 ) ^T + ( y1, y2 ) ^T )

= φ ( ( x1 + y1 , x2 + y2 ) ^T )

= ( ( x2 + y2 ) ² , x1 + y1 )^T

= ( x2² + 2 * x2 * y2 + y2², x1 + y1  ) ^T

 

φ ( x ) + φ ( y )

= φ ( ( x1, x2 ) ^T ) + φ ( y1 , y2 ) ^T )

= ( x2² , x1 ) ^T + ( y2² , y1 ) ^T

= ( x2² + y2² , x1 + y1 ) ^T

also:

φ ( x + y ) ≠ φ ( x ) + φ ( y )

=> φ ist keine lineare Abbildung.

 

c)

φ ( x + y )

= φ ( (a_i)_i€N + (b_i)_i€N )

= φ ( ( (a + b)_i)_i€N )

= ( (a+b)_2i)_i€N

 

φ ( x ) + φ ( y )

= φ ( (a_i)_i€N ) + φ ( (b_i)_i€N )

= (a_2i)_i€N + (b_2i)_i€N )

= ( (a+b)_2i)_i€N

Also:

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )

Noch zu prüfen:

φ ( a * x  ) = a * φ ( x ) ?

(Ich nenne a im Folgenden k, um Verwechslungen mit der Folgenbezeichnung zu vermeiden.)

φ ( k * x  )

= φ ( k * (a_i)_i€N )

= φ ( ( k * a_i)_i€N )

= ( k * a_2i)_i€N

 

k * φ ( x  )

= k * φ ( (a_i)_i€N )

= k * (a_2i)_i€N

= ( k * a_2i)_i€N

Also: Es gilt auch:

φ ( k * x  ) = k * φ ( x  )

damit ist φ ein lineare Abbildung.

 

Die zweite Aufgabe solltest du noch einmal getrennt einstellen.