Aloha :)
Uns sind die beiden folgenden Abbildngen vorgegeben:$$f(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_1+x_2\\x_1-x_2\end{pmatrix}\quad;\quad g(x_1;x_2;x_3)=\binom{x_1}{x_2+x_3}$$
zu 1) Bestimmung der Bilder der beiden Baisvektoren des \(\mathbb R^2\)
$$(g\circ f)(1;0)=g(\,f(1;0)\,)=g\left(1;1;1\right)=\binom{1}{2}$$$$(g\circ f)(0;1)=g(\,f(0;1)\,)=g\left(1;1;-1\right)=\binom{1}{0}$$
zu 2) Bestimmung der Abbildungsmatrizen
$$f(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_1+x_2\\x_1-x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}\phantom-1\\\phantom-1\\-1\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)}_{=A_f}\binom{x_1}{x_2}$$$$g(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}x_1\\x_2+x_3\end{pmatrix}=x_1\binom{1}{0}+x_2\binom{0}{1}+x_3\binom{0}{1}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)}_{=A_g}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
zu 3) Bestimmung der Matrix-Produkte
Das Produkt \(A_g\cdot A_f\) liefert die Abbildungsmatrix für die Verkettung \((g\circ f)\). Und da die Abbildungsmatrix die Bilder der Basisvektoren enthält, die wir in Teil (1) bestimmt haben, wissen wir ohne weitere Rechnung:$$A_g\cdot A_f=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 0\end{pmatrix}$$
Das Produkt \(A_f\cdot A_g\) haben wir bisher noch nicht betrachtet. Also einfach ausrechnen:$$A_f\cdot A_g=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & -1 & -1\end{array}\right)$$
