Bestimmen Sie die Matrizen Af und Ag bzgl Standardbasen

Question

Aufgabe:

Es seien \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) und \( g: \mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2} \) gegeben durch
\(f\left(\binom{x_{1}}{x_{2}}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2} \\x_{1}+x_{2} \\x_{1}-x_{2}\end{array}\right), g\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{array}\right)\right)=\binom{x_{1}}{x_{2}+x_{3}} .\)
1. Bestimmen Sie \( (g \circ f)\left(\mathbf{e}_{i}\right) \) für \( i=1,2 \).
2. Geben Sie die Matrizen \( A_{f}, A_{g} \) für \( f \) und \( g \) bezüglich der Standardbasen für \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathbb{R}^{3} \) an.
3. Berechnen Sie \( A_{f} \cdot A_{g} \) und \( A_{g} \cdot A_{f} \).

Problem/Ansatz:

Hallo, die erste Teilaufgabe habe ich gelöst da kommt bei mir bei i gleich 1 (1,2) raus und bei i gleich 2 kommt (1,0) raus. Die Teilaufgabe verstehe ich aber net, wie findet man denn die Matrix raus? Danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Uns sind die beiden folgenden Abbildngen vorgegeben:$$f(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_1+x_2\\x_1-x_2\end{pmatrix}\quad;\quad g(x_1;x_2;x_3)=\binom{x_1}{x_2+x_3}$$

zu 1) Bestimmung der Bilder der beiden Baisvektoren des \(\mathbb R^2\)

$$(g\circ f)(1;0)=g(\,f(1;0)\,)=g\left(1;1;1\right)=\binom{1}{2}$$$$(g\circ f)(0;1)=g(\,f(0;1)\,)=g\left(1;1;-1\right)=\binom{1}{0}$$

zu 2) Bestimmung der Abbildungsmatrizen

$$f(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_1+x_2\\x_1-x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}\phantom-1\\\phantom-1\\-1\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)}_{=A_f}\binom{x_1}{x_2}$$$$g(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}x_1\\x_2+x_3\end{pmatrix}=x_1\binom{1}{0}+x_2\binom{0}{1}+x_3\binom{0}{1}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)}_{=A_g}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

zu 3) Bestimmung der Matrix-Produkte

Das Produkt \(A_g\cdot A_f\) liefert die Abbildungsmatrix für die Verkettung \((g\circ f)\). Und da die Abbildungsmatrix die Bilder der Basisvektoren enthält, die wir in Teil (1) bestimmt haben, wissen wir ohne weitere Rechnung:$$A_g\cdot A_f=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 0\end{pmatrix}$$

Das Produkt \(A_f\cdot A_g\) haben wir bisher noch nicht betrachtet. Also einfach ausrechnen:$$A_f\cdot A_g=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & -1 & -1\end{array}\right)$$

Comments

Einfach nur traumhaft, danke dir tschakabumba!

Answer 2

In der Matrix stehen in den Spalten die Bilder der Basisvektoren, bez. der jeweiligen Basen. Also: ausrechnen und nebeneinander schreiben.