Koordinatenmatrix einer idempotenten Abbildung bzgl. Basis

Question

V endlichdimensionaler K-VR der Dimension n

π∈End_K(V) idempotenter Endomorphismus

zz.: Es existiert eine Basis (v₁,...,v_n) von V bzgl. der die Koordinatenmatrix von π, die die Gestalt

Mv₁,...,v_n(π)= (E_r    0 )

(0     0 )  (das soll eine Matrix sein)

r=Rg(π), E_r rxr-Einheitsmatrix, 0 jeweils eine Nullmatrix von geeignet zu bestimmender Größe

Mir ist die Aufgabe im Ganzen unklar und ich würde mich über Hilfe sehr freuen. 

Answer 1

Ich nenn die Abb. mal f statt pi.
Es gilt also für alle v aus V  f(f(v))=f(v)   (idempot!)

Dann ist aber für jeden Vektor v aus V die Differenz
v - f(v) aus Kern(f), denn
f(v - f(v)) = wegen linear
f(v) - f(f(v))= wegen idempot.
f(v) - f(v) = 0

Deshalb ist wegen v = v - f(v) + f(v)
jedes v aus V als Summe eines Elementes von Kern(f) rot und eines von Bild(f)
grün darstellbar.

Da Rang f = r gibt es v1,v2,...,vr aus Bild(f), die eine  Basis von Bild(f) bilden.
Diese lässt sich durch  vr+1,vr+2,...vn zu einer Basis von V ergänzen und
die v_r+1,v_r+2,...v_n sind dann aus Kern(f).

Da die  v1,v2,...,vr aus Bild(f) sind, gibt es w1, w2, ... wn mit
f(wi)=vi  also  f(vi) = f(f(wi)) = f(wi) = vi.

Bei der oben gewählten Basis ist also immer f(vi)=vi für i<=r und
damit sind die ersten r Spalten der Matrix von f genau die ersten r
Einheitsvektoren des IR^n . Die restlichen Basisvektoren sind aus dem
Kern von f, also die restlichen Spalten der Matrix alles Nullen. q.e.d.