Brüche mit Variablen vereinfachen mithilfe binomische Formeln. -> Wann darf ich was kürzen?

Question

Aufgabe:

"Die Brüche sollen so weit wie möglich vereinfacht werden."

\( \frac{9a^2 - 24ab^2 + 16b^2}{16b^2 - 9a^2} \) = \( \frac{(3a-4b)^2}{(4b-3a) • (4b+3a)} \)

= \( \frac{(4b-3a)^2}{(4b-3a) • (4b+3a)} \) = \( \frac{4b - 3a}{4b + 3a} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich fange bald ein Studium an und da die Schulzeit ein paar Jahre her ist, bin ich gerade dabei die absoluten Grundlagen wieder aufzuholen, deswegen hoffe ich, dass die Frage nicht zu banal ist.
Die Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.

Oben seht ihr die Musterlösung. Nach meinem Verständnis werden erstmal mithilfe der binomischen Formeln Produkte gebildet, damit wir kürzen können. Im 2. Schritt jedoch wird der Zähler von (3a-4b)^2 zu (4b-3a)^2 umgeschrieben.
Wie kommt man auf diesen Schritt? Ich habe direkt nach dem 1. Schritt ein a und ein b jeweils im Zähler sowie im Nenner weggekürzt. Darf ich das so gar nicht machen? Wenn ich jetzt nämlich auf Probe für a=1 und b=2 setze, komme ich auf zwei verschiedene Ergebnisse. Das wäre meine erste Frage.

Gibt es außerdem vielleicht eine Regel die ich mir merken kann, dass (a-b)^2 = (b-a)^2 ist, das hatte mich gerade nämlich auch verwundert, aber nachdem ich für beides was eingesetzt habe, kam tatsächlich das selbe Ergebnis raus.

Answer 1

\((3a-4b)^2=(-1)^2(3a-4b)^2=((-1)(3a-4b))^2=(4b-3a)^2\).

Oder ganz knapp: \((-x)^2=x^2\).

Answer 2

. Im 2. Schritt jedoch wird der Zähler von (3a-4b)2 zu (4b-3a)2 umgeschrieben.

Es gilt: (a-b)^2 = (b-a)^2

Herleitung:

(-1) ausklammern:

(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (-1)^2*(b-a)^2 = 1*(b-a)^2 = (b-a)^2

Answer 3

In Differenzen und Summen darf man einzelne Glieder nicht kürzen.

Es gibt einen einfachen Grund dafür, dass (a-b)² = (b-a)² gilt: a-b= -(b-a) und (-x)²=x².

Answer 4

Im 2. Schritt jedoch wird der Zähler von (3a-4b)² zu (4b-3a)² umgeschrieben.

Man kommt auf den Schritt indem man sieht, dass im Nenner \(4b - 3a\) steht und nicht \(3a-4b\).

Ich habe direkt nach dem 1. Schritt ein a und ein b jeweils im Zähler sowie im Nenner weggekürzt.

Aus Summen kürzen nur die ... äh ... Menschen die nocht nicht viel Erfahrung mit Mathematik gesammelt haben.

dass (a-b)² = (b-a)² ist,

Rechne mal (8-3)² und (3-8)² aus. Welche Zahl hast du im ersten Fall quadriert, welche im zweiten Fall. Warum bekommt man nach dem Quadrieren trotzdem das gleiche Ergebnis?