Aufgabe:
In einen auf der Spitze stehenden kegelförmigen Behälter mit einem Radius 10 cm und der Höhe 30 cm werden pro Sekunde 20 cm3 Wasser eingefüllt. Das Volumen V(t) des Wassers und die Höhe h(t) des Wasserspiegels im Behälter hängen also von der Zeit t (in s) ab.
a) Ermitteln Sie den Funktionsterm h(t). Wie hoch steht das Wasser nach einer Minute im Behälter?
b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Begründen Sie, warum das so ist.
c) Wie schnell steigt er nach einer Minute?
Problem/Ansatz:
a) V = \( \frac{1}{3} \)π * r2 * h
=> V(t) = \( \frac{1}{3} \)π * r2 * h
V(t) = \( \frac{1}{3} \)π * 102 * 20t (t in Sekunden)
Höhe des Wasserspiegels = Mantellinie des Kegels
s2 = h2 + r2
s = \( \sqrt{h2 + r2} \)
h(t) = s(V(t)) = \( \sqrt{(20t)2 + r2} \)
Ist der Ansatz richtig?