Begründen Sie, warum das so ist.

Question

Aufgabe:

In einen auf der Spitze stehenden kegelförmigen Behälter mit einem Radius 10 cm und der Höhe 30 cm werden pro Sekunde 20 cm³ Wasser eingefüllt. Das Volumen V(t) des Wassers und die Höhe h(t) des Wasserspiegels im Behälter hängen also von der Zeit t (in s) ab.

a) Ermitteln Sie den Funktionsterm h(t). Wie hoch steht das Wasser nach einer Minute im Behälter?

b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Begründen Sie, warum das so ist.

c) Wie schnell steigt er nach einer Minute?

Problem/Ansatz:

a) V = \( \frac{1}{3} \)π * r² * h

=> V(t) = \( \frac{1}{3} \)π * r² * h

V(t) =  \( \frac{1}{3} \)π * 10² * 20t       (t in Sekunden)

Höhe des Wasserspiegels = Mantellinie des Kegels

s² = h² + r²

s = \( \sqrt{h² + r²} \)

h(t) = s(V(t)) = \( \sqrt{(20t)² + r²} \)

Ist der Ansatz richtig?

Answer 1

werden pro Sekunde 20 cm³ Wasser eingefüllt.

Damit ist

(1)        \(V(t) = 20t\).

Behälter mit einem Radius 10 cm und der Höhe 30 cm

Damit ist

(2)        \(h = 3r\).

Der Radius des zum Zeitpunkt \(t\) befüllten Teil des Kegels sei \(r(t)\). Dann ist

(3)        \(V(t) = \frac{1}{3}\pi r(t)^2 h(t)\).

Wegen (2) Strahlensatz ist auch

(4)        \(h(t) = 3r(t)\).

Einsetzen in (3) ergibt

(5)        \(V(t) = \frac{1}{3}\pi r(t)^2 \cdot 3r(t) = \pi r(t)^3\).

Gleichsetzen von (1) und (5) ergibt

(6)        \(20t = \pi r(t)^3\).

Löse (6) nach \(r(t)\) auf und setze die Lösung in (4) ein.

Höhe des Wasserspiegels = Mantellinie des Kegels

Die Höhe geht von der Spitze senkrecht nach oben.

Wie hoch steht das Wasser nach einer Minute im Behälter?

\(h(60)\)

b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell.

Weil \(h(t)\) keine lineare Funktion ist.

c) Wie schnell steigt er nach einer Minute?

\(h'(60)\).

Answer 2

Kegel Rotationskörper
lineare Funktion
( x | y )
( 0 | 0 )
( 30 | 10 )
m = 10 / 30 = 1/3

r ( x ) = 1/3 * x
A ( x ) = r ^2 * pi
A ( x ) = (1/3*x ) ^2 * pi
A ( x ) = 1/9 * x^2 * pi
Stammfunktion
1/9 * x^3 /3 *pi
s ( x ) = 1/27 * x^3 * pi
Test mit x = h
1/27 * 30^3 * pi = 1000 * pi
Kegelformel
1/3 * 10^2 * PI * 30 = 1000 * pi

Das Volumen in Abhängigkeit von x ( Höhe )
beträgt also
V ( x ) = 1/27 * x^3 * pi

a) Ermitteln Sie den Funktionsterm h(t).
Wie hoch steht das Wasser nach einer
Minute im Behälter?

nach 1 min = 20 * 60 = 1200 cm^3

1200  = 1/27 * x^3 * pi
x = h = 21.77 cm