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Aufgabe 1. Das folgende diskrete Modell beschreibt die Bleikonzentration einer bestimmten Person im Blut (in \( \mu \mathrm{mol} / \mathrm{l}) \) zum Zeitpunkt \( n \) in Tagen nach der Geburt:
\( B(n+1)=k \cdot B(n)+d, B(0)=0 \)
Dabei sind \( k \) und \( d \) reelle Zahlen mit
\( 0<k<1 \text { und } d>0 \)
(a) Erkläre dieses Modell: Welche Bedeutung haben \( k \) und \( d ? \) Warum die Einschränkungen \( \left(^{*}\right) \) ? Was könnte die Situation der Person sein? Wäre ein kontinuierliches Modell in dieser Situation sinnvoller?
(b) Finde eine nicht-rekursive Formel für dieses Modell. Tipp: Verwende den Ansatz \( B(n)=a k^{n}+b \) und bestimme \( a \) und \( b \).
(c) Wie ist die langfristige Entwicklung von \( B(n) ? \) von \( B(n+1)-B(n) ? \)
Aufgabe 2. Betrachte die kontinuierliche Modelle
\( \begin{aligned} N(t) &=6 \cdot 3^{2 t-1} \\ M(t) &=t^{2} \cdot e^{t} \\ Q(t) &=e t+1 \end{aligned} \)
Hier sind die Werte der unabhängigen Variablen \( t \) die nicht-negativen reellen Zahlen.
(a) Was ist der Anfangswert (das heisst der Wert zum Punkt \( t=0 \) ) dieser Funktionen und was ist deren kontinuierliche Wachstumsrate an einem beliebigen Punkt \( t_{0} ? \)
(b) Welche dieser Funktionen stellen ein exponentielles Wachstum dar? Welche stellen ein lineares Wachstum dar?
Aufgabe 3. Während ein Organismus lebt, ist die \( { }^{14} \mathrm{C} \)-Kohlenstoffistope-Konzentration im Organismus gleich ein bekannten Wert \( C_{0} \). Nach dem Tod zerfällt die Konzentration mit einer Halbwertzeit von 5730 Jahren.
(a) Gib ein kontinuierliches Modell für die \( { }^{14} \) C-KohlenstoffistopeKonzentration in den Überresten eines Organismus \( t \) Jahren nach dem Tod. Für welche \( t \) ist das Model gültig?
Ansätze:
A1c. Lim (n -> Unendlich) = ak^n + b = b 1 > k > 0
Lim (n -> Unedendlich) B(n+1) - B (n) = k * (ak^n + b) + d - (ak^n + b)
A2a.
N(t) = 6 * 3^(2t-1) → N(0) = 6 * 3 ^(-1) = 6/3 = 2
Konstante Wachstumsrate von N an t0
N(t0) = (N-Strich(t0)/N(t0)) N-Strich = 1. Ableitung
N-Strich (t0) = 6 * f-strich(2t-1) * 2 = 6 * e^(ln(3)) * 2 (t0-1) * (ln (3) * 2 = 2 * ln (3) * 6 * 3^(2t0-1)
N-strich (t0)/N(to) = 2 * ln(3) 2 → konst.
A2b.
N wächst exponentiell, weil 2 (siehe oben) konstant ist.
A3. Das verstehe ich gar nicht.
A4a.
Änderung der Wahrnehmung = C * relative Stärke des Stimulus
-5 = C * 100
C = -5/100 = -0.05
A4b.
Sonne: -27mag
Polarstern: 2mag
Helligkeit Polarstern: HP
Wenn um 5 kleiner, dann um 100 grösser.
Helligkeit von etwas, dass 100 * HP = H - 3mag
As = HP * 100^(29/5) = ?
Liebe Freunde
Ich bitte euch mir weitere Ansätze zu geben oder Lösungsvorschläge zu bringen, denn ich komme nicht mehr weiter.
Vielen herzlichen Dank!
