Offene und abgeschlossene Menge bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( X=A \cup B \) für \( A:=K_{1}(0)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}<1\right\} \) und \( B:=\mathbb{Q}^{2} \cap([1,2] \times[1,2]) \) \( \bar{X}, \dot{X} \) sollen bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Es gibt zwei Mengen A und B. Die Menge X ist die Vereinigung der beiden Mengen. Ich soll die offene Menge und die abgeschlossene Menge bestimmen.

Die Menge A scheint mir ein Kreis zu sein, ohne die Randpunkte, also wäre die Menge A offen.

unter B kann ich mir momentan nichts vorstellen.

Wenn beide Mengen offen wären, so müsste auch die Vereinigung offen sein?

Wie schreibe das mathematisch auf?

Answer 1

Also erstmal ist Klar, dass wenn A und B offen sind bzw. abgeschlossen, dass auch X als die Vereinigung abgeschlossener bzw. offener Mengen offen bzw. abgeschlossen ist. Wenn du den Abschluss von X bestimmen willst, sagt dir die Rechenregel für abgeschlossene Mengen, dass sich der Abschluss der Vereinigung auch durch die Vereinigung des Abschlusses beider separaten Mengen berechnen lässt.

Bilde also den Abschluss der beiden Mengen A und B.

Da A eine Kugel ist, entspricht der Abschluss dieser Menge einfach der gleichen Mengen plus zusätzlich dem Rand also kleiner gleich 1. Von B Ist der Abschluss der Rationalen Zahlen ganz R, da sie dicht in R liegen. Also ist das einfach das kartesische Produkt von dem Intervall [1,2]. Wenn du nun beide Mengen schneidest, merkst du dass der Schnitt leer ist.

Comments

Und um zu zeigen, dass X offen, brauche ich nichts zu machen? da beide Mengen offen sind, und die Vereinigung davon wieder offen ist?

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Genauso wie bei abgeschlossen aber du musst sie ja noch berechnen

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"Wenn du nun beide Mengen schneidest, merkst du dass der Schnitt leer ist."

Welche Mengen genau? A und B? Kann man den Schnitt betrachten? weil in der Aufgabe von der Vereinigung gesprochen wird

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Ohhhhhh sorry Jaa bei der Vereinigung musst dann beide Mengen zusammen nehmen . Hatte was falsches im Gedächtnis

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\( A:=K_{1}(0)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}≤1\right\} \)

\( B:= ([1,2] \times[1,2]) \)

Beide sind abgeschlossen. (also ein Kreis und ein Rechteck)

A ∪ B = \(K_{1}(0)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}≤1\right\} \) ∪ \( ([1,2] \times[1,2]) \)

Reicht das für den Abschluss?

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Jaa passt soweit