Lösen einer linearen Gleichung - Theorie
Ich habe im Buch eine Erklärung wie man lineare Gleichungen löst. Die Matrix der Gleichungen ist in Zeilenstufenform. \(r\) steht für die letzte Zeile in der nicht nur Nullen stehen. \(m\) ist die Anzahl der Zeilen und \(n\) die Anzahl der Spalten.
"Zu Vereinfachung nehmen wir, dass Pivots in der ersten \(r\) Spalten sitzen". Wenn ich den Satz richtig verstehe, besagt er, dass die "Treppen" in der Matrix wirklich gleich sind d.h. dass jede nachfolgende Zeile um 1 Zahl kürzer ist, abgesehen von den Nullen links oder?
Wenn \(b_{r+1} = ... = b_m =0\), dann hat die Matrix eine Lösung. Es gibt freie Variablen: \(x_{r+1}, ..., x_n\) (beliebige Werte) und gebundene: \(x_1, ...,x_r\) (abhängig von freien Variablen). Mna setzt \(k := n-r\), das ist die Zahl der freien Variable und man wählt \(\lambda_1,..., \lambda_k \in \mathbb{R}\) als Paramter uns setzt: \(x_{r+1}= \lambda_1, x_{r+2} = \lambda_2, ..., x_n=\lambda_k\).
Man beginnt mit der r-ten Gleichung:
\(a_{rr}x_r + a_{r,r+1}\lambda_1 + ... + a_{rn}\lambda_k = b_r\). Daraus erhält man
\(x_r = \frac{(b_r-a_{r,r+1}\lambda_1 - ... -a_{rn}\lambda_k)}{a_{rr}}\).
Setzt man das in die \((r-1)\)-te Gleichung ein, erhält man analog
\(x_{r-1} = d_{r-1, r-1}b_{r-1}+d_{r-1,r}b_r+c_{r-1,1}\lambda_1+...+c_{r-1,k}\lambda_k\). Die letzte Gleichung verstehe ich nicht. Warum werden da irgendwelche \(c\) und \(d\) eingeführt? Alle Koeffizienten kann man doch mit \(a\) und mit nem passenden Index darstellen. Ich weiß leider nicht wie man auf die obere Gleichung kommt und bitte deshalb um eine Erklärung.
