Matrix der Gleichungen ist in Zeilenstufenform. Zeile r: Letzte Zeile, die nicht nur Nullen enthält.

Question

Lösen einer linearen Gleichung - Theorie

Ich habe im Buch eine Erklärung wie man lineare Gleichungen löst. Die Matrix der Gleichungen ist in Zeilenstufenform. $r$ steht für die letzte Zeile in der nicht nur Nullen stehen. $m$ ist die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten.

"Zu Vereinfachung nehmen wir, dass Pivots in der ersten $r$ Spalten sitzen". Wenn ich den Satz richtig verstehe, besagt er, dass die "Treppen" in der Matrix wirklich gleich sind d.h. dass jede nachfolgende Zeile um 1 Zahl kürzer ist, abgesehen von den Nullen links oder?

Wenn $b_{r+1} = ... = b_m =0$, dann hat die Matrix eine Lösung. Es gibt freie Variablen: $x_{r+1}, ..., x_n$ (beliebige Werte) und gebundene: $x_1, ...,x_r$ (abhängig von freien Variablen). Mna setzt $k := n-r$, das ist die Zahl der freien Variable und man wählt $\lambda_1,..., \lambda_k \in \mathbb{R}$ als Paramter uns setzt: $x_{r+1}= \lambda_1, x_{r+2} = \lambda_2, ..., x_n=\lambda_k$.

Man beginnt mit der r-ten Gleichung:

$a_{rr}x_r + a_{r,r+1}\lambda_1 + ... + a_{rn}\lambda_k = b_r$. Daraus erhält man

$x_r = \frac{(b_r-a_{r,r+1}\lambda_1 - ... -a_{rn}\lambda_k)}{a_{rr}}$.

Setzt man das in die $(r-1)$-te Gleichung ein, erhält man analog

$x_{r-1} = d_{r-1, r-1}b_{r-1}+d_{r-1,r}b_r+c_{r-1,1}\lambda_1+...+c_{r-1,k}\lambda_k$. Die letzte Gleichung verstehe ich nicht. Warum werden da irgendwelche $c$ und $d$ eingeführt? Alle Koeffizienten kann man doch mit $a$ und mit nem passenden Index darstellen. Ich weiß leider nicht wie man auf die obere Gleichung kommt und bitte deshalb um eine Erklärung.

Answer 1

Die letzte Gleichung verstehe ich nicht. Warum werden da irgendwelche c... und d...  eingeführt? Alle Koeffizienten kann man doch mit a und mit nem passenden Index darstellen.

Schon. Aber man will ja nicht zu viel rechnen. x_r hat man ja schon. Damit kann man nun x_r-1 ausdrücken (abhängig von Koeffizienten, nicht von x_r) usw. Soll zeigen, wofür die Zeilenstufenform nützlich ist. 

a

Comments

Lu, Deine Antwort habe ich leider nicht verstanden. Es ist mir klar, dass man $x_{r-1}$ ausdrücken will und dass $x_r$ schon berechnet wurde, aber trotzdem verstehe ich nicht was $c$ und $d$ sind und was sie mit der Gleichung zu tun haben bzw. woher die Gleichung kommt.