Was für ein Viereck ist ABCD?

Question

Gegeben sind die Funktionen f₁, f₂, f₃ und f₄ mit den Gleichungen:
f₁=\( \frac{x^2+x}{x^2+1} \); f₂=\( \frac{x^2-x}{x^2+1} \); f₃=\( \frac{1+x}{x^2+1} \); f₄=\( \frac{1-x}{x^2+1} \);  
Mit ihrer Hilfe werden 4 Punkte definiert: A(f₁(a)|f₂(a)); B(f₂(a)|f₄(a)) und C(f₄(a)|f₃(a)); D(f₃(a)|f₁(a)).
Was für ein Viereck ist ABCD?

Comments

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durch Verschieben des Punktes \(a=\dots\) auf der X-Achse lässt sich der Wert von \(a\) verändern.

Answer 1

ABCD ist ein Quadrat:

Die zentrische Streckung mit dem Faktor \(a^2+1\) liefert die Punkte

\(A',B',C',D'\). So bekommen wir die folgenden Vektoren für die Seiten

des Vierecks:

\(v_1=B'-A'=(-2a,1-a^2),\; v_2=C'-B'=(1-a^2,2a),\)

\(v_3=D'-C'=(2a,a^2-1),\;  v_4=A'-D'=(1-a^2,-2a)\).

Die Skalarprodukte liefern:

\(v_1\perp v_2,\; v_2\perp v_3, \; v_3\perp v_4,\; v_4\perp v_1\).

Ferner berechnet man, dass alle \(\|v_i\|^2\) denselben Wert \((a^2+1)^2\) liefern.

Bei der zentrischen Streckung bleiben die Winkel erhalten und die

Verhältnisse der Vektorlängen.

Comments

Macht man die zentrische Streckung wieder rückgängig,

so sieht man, dass die Seitenlänge 1 wird.

Answer 2

Hallo Roland,

das ist ein Quadrat mit dem Mittelpunkt bei \((0,5|\,0,5)\)!

Begründung:

Man finde die affine Abbildung \(r\) für Punkte in der Ebene$$r:\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} y\\1-x \end{pmatrix}$$Die eine Drehung um den Punkt \((0,5|\,0,5)\) um \(-90°\) darstellt. Und wende diese auf die vier Punkte an. Bei \(A\) und \(B\) bekommt man:$$r(A) = r\begin{pmatrix} f_1(a)\\f_2(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_2(a)\\\frac{a^2+1-(a^2+a)}{a^2+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_2(a)\\f_4(a) \end{pmatrix}=B \\ r(B)= r\begin{pmatrix} f_2(a)\\f_4(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_4(a)\\\frac{a^2+1-(1-a)}{a^2+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_4(a)\\f_3(a) \end{pmatrix}=C$$und entsprechend ist \(r(C)=D\) und \(r(D)=A\). Daraus folgt, dass die vier Punkte ein Viereck bilden, in dem die Diagonalen gleich lang sind, sich gegenseitig halbieren und senkrecht auf einander stehen.

Und das ist nur bei einem Quadrat der Fall.

Gruß Werner

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