Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g mit g(x) = x * f(x) Ebenfalls die x-Achse im Punkt P berührt.

Question

Aufgabe: Der Graph der Funktion f berührt die x-Achse im Punkt P(2|0). Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g mit g(x) = x * f(x) Ebenfalls die x-Achse im Punkt P berührt.

Answer 1

Hallo,

\(f\) berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_0=2\) genau dann, wenn \(f(2)=f'(2)=0\).

Nun soll gezeigt werden, dass \(g(x)=x\cdot f(x)\) dies ebenfalls erfüllt.

Zunächst ist \(g(2)=2\cdot f(2)=2\cdot 0=0\) erfüllt.

Weiter ist \(g'(x)=f(x)+x\cdot f'(x)\), daher \(g'(2)=f(2)+2\cdot f'(2)=0+2\cdot 0=0\).

Folglich besitzt auch \(g\) bei \(P(2|0)\) einen Berührpunkt.