Kleinst-Quadrat-Schätzer händisch berechnen

Question

Ich soll den Kleinster-Quadrat-Schätzer β₁ durch minimieren von

KQ(β₁) = \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) ( y_i - β₁x_i )^2

Kann mir jemand helfen? Wie kann ich das ableiten und 0 setzen?

Comments

Gibt es Messwerte?

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Eben nicht, mein Professor meinte man soll nach β ableiten und 0 setzen.

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Man leitet eine Summenfunktion ab, indem man die einzelnen Summanden ableitet.

Answer 1

Aloha :)

Die Messwerte \((x_i|y_i)\) sollen offenbar durch eine lineare Funktion \(y(x)=\beta\cdot x\) mit Steigung \(\beta\) angenähert werden. Die "am besten" passende Steigung \(\beta\) folgt dann so:

$$0\stackrel!=\frac{d(KQ)}{d\beta}=\sum\limits_{i=0}^n2\left(y_i-\beta x_i\right)\cdot(-x_i)=-2\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i+2\beta\sum\limits_{i=0}^n x_i^2\implies\beta=\frac{\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i}{\sum\limits_{i=0}^n x_i^2}$$

Comments

Danke!! Kannst du evtl nochmal den letzten Schritt etwas genauer erläutern?:)

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Ich habe die Gleichung nach \(\beta\) umgesellt:

$$\left.0=-2\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i+2\beta\sum\limits_{i=0}^nx_i^2\quad\right|\colon2$$$$\left.0=-\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i+\beta\sum\limits_{i=0}^nx_i^2\quad\right|+\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i$$$$\left.\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i=\beta\sum\limits_{i=0}^nx_i^2\quad\right|\colon\sum\limits_{i=0}^nx_i^2$$$$\beta=\frac{\sum\limits_{i=0}^nx_iy_i}{\sum\limits_{i=0}^nx_i^2}$$