Wie groß ist der Schwerpunkt?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine C^1-Fläche F ⊂ ℝ3 unter der Annahme, dass die Flächendichte der Masse auf F konstant ist.
Sei F nun die nördliche Hemisphäre vom Radius 1 mit Mittelpunkt im Ursprung.
Wie groß ist der Schwerpunkt ?

Problem/Ansatz:

Die Sphäre des Radius ist in Kugelkoordinaten parametrisiert durch
ϕ(φ,θ)=(■(r cos〖θ cosφ 〗@r cos〖θ sinφ 〗@r sinθ ))
mit Azimut (Längengrad) 0 ≤ φ ≤ 2π und Ko-Polwinkel (Breitengrad) -π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Comments

Steht da wirklich "Wie groß ist der Schwerpunkt?" oder ist das falsch übersetzt?
Der Punkt ist doch unendlich klein.

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@döschwo

Entschuldigung, die Frage war vielleicht etwas missverständlich formuliert. Ich habe gemeint: Wie groß ist die z-Koordinate des Schwerpunktes a?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Es sei \(M\) die Masse der Kugel-Halbschale. Da ihr Radius \(R=1\) ist, beträgt ihre Fläche \(2\pi\) und ihre konstante Massendichte ist \(\rho=\frac{M}{2\pi}\). Wegen der Kugelsymmetrie der Situation liegt der Schwerpunkt auf der \(z\)-Achse, d.h. \(x_S=y_S=0\) und wir brauchen nur die \(z\)-Koordinaten \(z_S\) des Schwerpunktes zu ermitteln:

$$z_S=\frac{1}{M}\int\limits_F\rho z\,df=\frac{1}{M}\int\limits_F\frac{M}{2\pi} z\,df=\frac{1}{2\pi}\int\limits_Fz\,df$$

Das Flächenelement in Kugelkoordinaten lautet \(df=R^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi\stackrel{(R=1)}{=}\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi\) Die \(z\)-Koordinate ist \(z=R\cos\vartheta\stackrel{(R=1)}{=}\cos\vartheta\). Damit können wir das Integral formulieren:$$z_S=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\underbrace{\cos\vartheta}_{=z}\sin\vartheta\,d\vartheta=\frac{1}{2\pi}\cdot2\pi\cdot\frac12\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin(2\vartheta)d\vartheta=\frac12\left[-\frac{\cos(2\vartheta)}{2}\right]_0^{\pi/2}$$$$\phantom{z_S}=-\frac14\left(\cos(\pi)-\cos(0)\right)=-\frac14\cdot\left(-1-1\right)=\frac12$$

Damit haben wir den Schwerpunkt gefunden: \(S\left(0\,\big|\,0\,\big|\,\frac12\right)\).