Vollständige Induktion-Beweisverfahren

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion

Gegeben sind die Gleichungen
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, 1 + 3 + 5 + 7+9 = 25, . . .

Verwende die Darstellung 2n − 1 für die n–te ungerade natürliche Zahl, um eine allgemeine Summenformel
für obige Gleichungen aufzustellen. Beweise die Gültigkeit deiner Gleichung anschließend mit vollständiger
Induktion

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre folgender;

A(n): (1+3+5+7+9....+(2n-1)) = n²

Sprich die Summe aufeinanderfolgenden Zahlen ergeben ein Quadrat. Wie kann ich jetzt mit vollständiger Induktion die Gültigkeit dieser Gleichung beweisen? Wie genau gehe ich vor?
Wäre sehr dankbar für Ansätze und Hilfestellungen. Danke im Voraus.

Gruß
pharmacyl

Answer 1

Der Induktionsanfang ist ja schon gemacht.

Es fehlt also der Induktionsschritt, d.h. die Folgerung von A(n) auf A(n+1).

Es gelte A(n).

A(n): (1+3+5+7+9....+(2n-1)) = n²

Zu zeigen:

Dann gilt auch A(n+1):

1+3+5+7+9....+(2n-1)+(2*(n+1)-1) = (n+1)²

Also:

1+3+5+7+9....+(2n-1)+(2*(n+1)-1)

=n²+2*(n+1)-1

=n²+2n+1

=(n+1)²

:-)

Comments

Das heißt ich gehe beim Induktionsschritt jetzt folgender Maßen vor:
(2n-1)+(2(n+1)-1) = (n+1)²
2n-1 + 2n+1 = n²+2n+1
4n = n²+2n+1
2n = n²+1

Das ist keine wahre Aussage. Habe ich deinen Ansatz missverstanden?

---

Das hast du leider völlig falsch verstanden.

Ich ergänze einmal meine Antwort. Vielleicht wird es dann klarer.

---

Verstehst du es jetzt?

---

Jetzt ist es klar! Vielen Dank für deine Hilfe :)

LG

---

Ist beim Induktionsschritt

=n²+2*(n+1)-1

=n²+2n+1

=(n+1)²

hier ein Fehler? Oder irre ich mich

2n+1-1 ergibt doch 2n

folglich wäre das Ergebnis n²+2n

---

2*(n+1)-1

=2*n+2-1

=2*n+1

---

Stimmt! Danke...