Konvergenzverhalten der Folge (x^n) für |x|<1

Question

Ich versuche das Konvergenzverhalten der Folge \( (x^n)_{n \in \mathbb{N}}\) für \(|x|<1\) zu verstehen. Es gilt \(\lim_{x \to \infty} x^n =0\).

Beweis: Es existiert zu vorgegebenem \(e >0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) mit \(|x|^N < e\) (das ist mir klar). Damit ist

\(|x^n -0| = |x|^n \le |x|^N < e\) für alle \(n \ge N\). Das Problem habe ich an der Stelle \(|x|^n \le |x|^N\). Anschaulich ist es klar, aber mir fehlt ein Beweis. Ich muss im Grunde genommen zeigen, dass \(|x|^{n+1} \le |x|^n\) also \(|x|^n|x|\le|x|^n\) also \(ab \le a\) mit \(-1

Answer 1

Vielleicht so:

1. Fall: Für n = N stimmt es offensichtlich.

2. Fall: n > N

$$|x|^n \le |x|^N \Leftrightarrow \frac{|x|^n}{|x|^N} \le 1 \Leftrightarrow |x|^{n-N} \le 1$$

n-N > 0, da n > N. Und da |x| < 1 muss das ja wohl stimmen, dass $$|x|^{n-N} \le 1$$.

Weiss nicht, wie man es noch weiter beweisen soll.

Comments

Naja, ich habe das jetzt so gemacht:

Ich muss beweisen \( |x|^{N+1} \le |x|^N\). Laut der Aufgabe haben wir \(|x| <1\), daraus folgt \(|x| \le 1\). Also \(|x| \le |x|^N / |x|^N\) durch Umformen \(|x|^N|x| \le |x|^N\) und nach einem Potenzgesetz \( |x|^{N+1} \le |x|^N\) und für restliche \(n > N\) geht es analog (bzw. durch vollst. Induktion).

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Ja, sieht gut aus finde ich :)