Zeigen Sie, dass A ⊂ B ⊂ C gilt.

Question

Seien A, B, C drei Mengen mit der Eigenschaft A ∪ B = B ∩ C. Zeigen Sie, dass A ⊂ B ⊂ C gilt.
Danke im Voraus!

Comments

Benutze X ⊆ Y  ⇔  X ∩ Y^C = ∅
und schließe folgendermaßen :

    A ∪ B =  B ∩ C     | ∩ B^C
⇒  (A ∩ B^C) ∪ (B ∩ B^C)  =  B ∩ C ∩ B^C
⇒  (A ∩ B^C) ∪ ∅  =  ∅

Der zweite Teil folgt analog aus     A ∪ B =  B ∩ C   | ∩ C^C

Answer 1

 Vor.:   A ∪ B = B ∩ C

Sei z∈A

==>   z ∈  A ∪ B

==>   z ∈  B ∩ C

==>   z ∈  B .

Damit ist A⊂B gezeigt.

Sei nun  z∈B  
==>  z ∈  A ∪ B
==>  z ∈  B ∩ C

==>  z ∈  C .
Damit ist B⊂C gezeigt.

Also auch A ⊂ B ⊂ C.